微分動力系統(tǒng)的應(yīng)用(一)--競爭模型

1、1微分動力系統(tǒng)的應(yīng)用微分動力系統(tǒng)的應(yīng)用(一)競爭模型競爭模型設(shè)在一個池塘里飼養(yǎng)兩種食用魚：鱒魚和鱸魚.設(shè)它們在時刻t的尾數(shù)分別是x(t)和y(t).假定鱒魚的尾數(shù)x(t)的增長速度正比于鱒魚尾數(shù)x(t)增長率為k即.(1)kxtx?dd由于鱸魚的存在而爭奪食物、減小了鱒魚的增長率.鱸魚越多，鱒魚的增長率越小，可設(shè)鱒魚的增長率k=a–by其中a0b0是常數(shù).因此我們可以寫出如下的描述鱒魚尾數(shù)的微分方程:.(2)xbyatx)(dd??0?

2、x0?y同理由于鱒魚的存在而爭奪食物、減小了鱸魚的增長率.我們可得到描述鱸魚尾數(shù)的微分方程:(3)ynxmty)(dd??其中m0n0是常數(shù).當鱒魚的尾數(shù)x(t)mn鱸魚的尾數(shù)y(t)ab時由方程(3)可見鱸魚的尾數(shù)y將增加由方程(2)可見鱒魚尾數(shù)x(t)將減少.現(xiàn)在的問題是:設(shè)在t=0時鱒魚和鱸魚的初值分別是x0和y0尾要研究這兩種魚的增長情況.是否存在x00和y00使得這兩種魚能夠和平共處長期共存呢首先可見方程組(2)(3)有常數(shù)解

3、3指數(shù)增長.由于奇點(mnab)是鞍點當t趨向無窮大時有兩條軌道從相反的方向趨向鞍點另有兩條軌道從鞍點出發(fā)以相反的方向離開鞍點.這四條軌道稱為鞍點的分界線研究這些分界線的走向以及方程組的結(jié)點(00)的性質(zhì)其余軌道的大致走向也就清楚了.要知道對于一般的初值鱒魚和鱸魚的尾數(shù)是怎)00()(00?yx樣變化的最終是鱒魚還是鱸魚生存下來呢就要解出微分方程組(2)(3).將方程組(2)(3)消去dt化為如下一階常微分方程:(6)yxbyaxynx