動力系統(tǒng)熵的研究及應用.pdf

1、本文的主要目的是使用局部化的思想對動力系統(tǒng)熵的理論(包括序列熵和復雜性函數(shù))進行深入的研究，既有對原有的點對和點串理論的細化，也發(fā)展了新的局部化方法，并尋求其在動力系統(tǒng)的動力學屬性，動力系統(tǒng)內在結構和動力系統(tǒng)分類等方面的研究的應用.同時我們的工作突出了熵、序列熵和復雜性函數(shù)三者之間的相似性和差異性. 本文的具體安排如下：在第一章中，我們先簡要的介紹了動力系統(tǒng)和遍歷論的起源與主要研究內容，其間穿插了對這門學科的發(fā)展的回顧.然后詳細

2、的介紹了動力系統(tǒng)熵的相關理論的研究的背景、發(fā)展現(xiàn)狀以及它在動力系統(tǒng)其它方面的研究中的應用.在第二章中，我們介紹了本文涉及到的一些拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論的基本概念和結論. 在第三章中，我們將致力于熵的局部化理論的深入研究.我們提出了熵序列和極大熵集的概念(既包括拓撲動力系統(tǒng)的情形也包擴遍歷論的情形)；證明了一個集合為熵集當且僅當此集合中任何n個不同的點構成n熵串；證明了每個極大熵集都是閉集并刻畫了具有唯一極大熵集的系統(tǒng).我們還證明

3、了在正熵系統(tǒng)中，必存在一個極大熵集具有不可數(shù)個點，系統(tǒng)的拓撲熵是所有極大熵集上的熵的上確界，這在某種意義上說明了熵集集中了系統(tǒng)的復雜性.最后我們構造了一個具有只包含兩個點的極大熵集的系統(tǒng)，從這個例子上可以看出正熵系統(tǒng)在精細結構上的復雜性，利用這個例子的想法，我們還構造了一個傳遞的非拓撲K的具有唯一極大熵集的系統(tǒng). 在第四章中，我們先介紹了當前序列熵的局部化理論的一些概念和結果，然后利用序列熵串得到了一個不交性定理，由此證明了弱混

4、合系統(tǒng)與Morse極小系統(tǒng)不交，這也是對已有的不交性定理的一個改進. 在第五章中，我們研究了流上的null系統(tǒng).我們首先在流上引入序列熵、序列熵對和弱混合對的概念，證明了極小null流是其極大等度連續(xù)因子的幾乎一對一擴充并且是唯一遍歷的，推廣了葉向東和黃文等人關于離散情形的相關結果.作為應用，我們用序列熵的語言刻畫了幾乎自守流的結構.進一步，我們在IR上引入了null函數(shù)的概念并研究了它的某些性質，構造例子說明了極小幾乎自守nu