北大離散數(shù)學(xué)chap5

1、代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)介,這部分內(nèi)容屬于近世代數(shù)的范疇，近世代數(shù)是研究具有運(yùn)算的集合，它第一次揭示了數(shù)學(xué)系統(tǒng)的多變性與豐富性。代數(shù)結(jié)構(gòu)理論可用于計(jì)算機(jī)算法的復(fù)雜性分析，研究抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)及操作，同時(shí)也是程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的理論基礎(chǔ)。我們將介紹代數(shù)系統(tǒng)的最基本概念和最基本理論，以及幾類常用的代數(shù)系統(tǒng)，它們是：半群，幺半群，群，環(huán)，域，格和布爾代數(shù)。本課程在第五，六章中介紹代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)容。,第五章 代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì),第一節(jié) 二元運(yùn)算及性質(zhì),內(nèi)容：二

2、元運(yùn)算，運(yùn)算律，特殊元素。,重點(diǎn)：(1) 一元和二元運(yùn)算的概念，,一般：吸收律，消去律，冪等律。,一、二元運(yùn)算。,一、二元運(yùn)算。,但減法，除法不是。,但除法不是。,上求相反數(shù)的運(yùn)算是一元運(yùn)算。,但加法，減法不是，,而求倒數(shù)是一元運(yùn)算。,3、一元，二元運(yùn)算表。,解：,二、有關(guān)運(yùn)算律。,二、有關(guān)運(yùn)算律。,三、一些特殊元素。,注：(1) 若幺元存在必唯一。,從而沒有幺元。,注：(1) 若零元存在必唯一。,從而也沒有零元。,3、逆元：,(1),

3、解：加法，乘法都不是二元運(yùn)算。,(2),解：加法不是二元運(yùn)算，,乘法是二元運(yùn)算。,(3),解：加法，乘法都是二元運(yùn)算。,(4),解：加法不是二元運(yùn)算，,乘法是二元運(yùn)算。,(5),解：加法不是二元運(yùn)算，,乘法是二元運(yùn)算。,，滿足結(jié)合律。,時(shí)，無(wú)逆元。,例7、設(shè),，二元運(yùn)算,和,定義，問(wèn)運(yùn)算,如下表,和,是否可交換的；是否有零元；,是否有幺元；如果有幺元，指出哪些元素有逆元；,逆元是什么？,(1),沒有零元，,是幺元，,互為逆元。,(2),

4、是左零元，,是幺元，,(2),解：但它們的逆元都不存在。,四、其它一些運(yùn)算律和特殊元素。(了解),四、其它一些運(yùn)算律和特殊元素。(了解),四、其它一些運(yùn)算律和特殊元素。(了解),3、冪等元。,上的加法運(yùn)算都不滿足冪等律，,但它們都有冪等元，幺元就是冪等元。,第二節(jié)　代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)　　和積代數(shù),內(nèi)容：代數(shù)系統(tǒng)，子代數(shù)，積代數(shù)。,了解：積代數(shù)的概念。,一、代數(shù)系統(tǒng)。,1、定義：,2、代數(shù)常數(shù) (特異元素)。,二、子代數(shù)系統(tǒng)。,1、定義

5、：,2、平凡子代數(shù)，真子代數(shù)。,三、積代數(shù)。,例如：,例如：,和,的積代數(shù)為,，,，,，,第三節(jié) 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu),內(nèi)容：代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)映射，同構(gòu)映射。,一、同態(tài)映射，同構(gòu)映射的概念。,1、定義：,滿同態(tài)，記,單同態(tài),同構(gòu)，記,但不是單同態(tài),則對(duì),2、自同態(tài)，自同構(gòu)。,則對(duì),則對(duì),則對(duì),3、同態(tài)，同構(gòu)概念的推廣。,二、性質(zhì)。,二、性質(zhì)。,第五章 小結(jié)與例題,一、二元運(yùn)算及其性質(zhì)。,1、基本概念。,一元運(yùn)算和二元運(yùn)算；二元運(yùn)算的結(jié)合

6、律，交換律，分配律，冪等律，吸收律，消去律；二元運(yùn)算的特殊元素：幺元，零元，逆元；一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的運(yùn)算表。,一、二元運(yùn)算及其性質(zhì)。,2、運(yùn)用。,(2) 求幺元，零元，逆元。,(3) 列出一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的運(yùn)算表。,二、代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)。,1、基本概念。,代數(shù)系統(tǒng)；子代數(shù)；積代數(shù)。,2、運(yùn)用。,判斷代數(shù)系統(tǒng)的子集能否構(gòu)成子代數(shù)系統(tǒng)。,三、代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)。,1、基本概念。,同態(tài)，單同態(tài)，滿同態(tài)；同構(gòu)。,2、運(yùn)用。,(1

7、) 實(shí)數(shù)集,解：加、減、乘是二元運(yùn)算，,除不是二元運(yùn)算。,(2) 非零實(shí)數(shù)集,解：加、減不是二元運(yùn)算，,乘、除是二元運(yùn)算。,(3) 正整數(shù)集,解：加、乘是二元運(yùn)算，,減、除不是二元運(yùn)算。,(4),解：乘是二元運(yùn)算，,加、減、除都不是二元運(yùn)算。,(5),解：乘、除是二元運(yùn)算，,加、減不是二元運(yùn)算。,(1) 求,解：,解：因?qū)θ我獾恼麛?shù),(3) 求幺元，零元。,不存在零元。,解：,解：對(duì)任意的,(3) 求幺元。,解：對(duì)任意的,故0是幺元。