歷屆全國大學生數(shù)學競賽 預賽 參考解析 (數(shù)學類)

1、首屆全國大學生數(shù)學競賽賽區(qū)賽試卷參考答案首屆全國大學生數(shù)學競賽賽區(qū)賽試卷參考答案（數(shù)學類，2009）（數(shù)學類，2009）一、求經(jīng)過三平行直線1:Lxyz==，2:11Lxyz?==，3:11Lxyz==?的圓柱面的方程.解：先求圓柱面的軸0L的方程.由已知條件易知，圓柱面母線的方向是(111)n=?，且圓柱面經(jīng)過點(000)O，過點(000)O且垂直于(111)n=?的平面π的方程為：0xyz=.π與三已知直線的交點分別為(000)(1

2、01)(011)OPQ??圓柱面的軸0L是到這三點等距離的點的軌跡，即222222222222(1)(1)(1)(1)xyzxyzxyzxyz?=???=???，即11xzyz?=???=??，將0L的方程改為標準方程11xyz?==.圓柱面的半徑即為平行直線xyz==和11xyz?==之間的距離.0(110)P?為0L上的點.對圓柱面上任意一點()Sxyz，有00||||||||nPSnPOnn=????????????，即222(1

3、)(1)(2)6yzxzxy?????=，所以，所求圓柱面的方程為：222330xyzxyxzyzxy????=.二、設nnC是nn復矩陣全體在通常的運算下所構(gòu)成的復數(shù)域C上的線性空間，21011121110112231nnnnxEexFexFexFexexexexe???==??因123neeee?線性無關(guān)，故，01210nxxxx?=====?所以，21nEFFF??線性無關(guān).因此，21nEFFF??是()CF的基，特別地，dim(

4、)CFn=.三、假設V是復數(shù)域C上n維線性空間（0n），fg是V上的線性變換.如果fggff?=，證明：f的特征值都是0，且fg有公共特征向量.證明證明：假設0λ是f的特征值，W是相應的特征子空間，即0|()WVfηηλη=∈=.于是，W在f下是不變的.下面先證明，0λ=0.任取非零Wη∈，記m為使得2()()()mgggηηηη?線性相關(guān)的最小的非負整數(shù)，于是，當01im≤≤?時，2()()()igggηηηη?線性無關(guān)01im≤≤?

5、時令21()()()iiWspangggηηηη?=?其中，0Wθ=.因此，dimiWi=（1im≤≤），并且，12mmmWWW===?.顯然，1()iigWW?，特別地，mW在g下是不變的.下面證明，mW在f下也是不變的.事實上，由0()fηλη=，知00()()()()fggffgηηηληλη==200002000()()()(())(())()2()fggfgfggggggηηηληληληληληληλη===根據(jù)1111()