電磁學(xué)若干問(wèn)題第一講

1、奧林匹克物理競(jìng)賽電磁學(xué)若干問(wèn)題第一講,電場(chǎng)與電勢(shì)的若干問(wèn)題電容的若干問(wèn)題能量的若干問(wèn)題導(dǎo)體受力若干問(wèn)題,一、電場(chǎng)的若干問(wèn)題,電場(chǎng)對(duì)任意封閉曲面的電通量只決定于被包圍在封閉曲面內(nèi)部的電荷，且等于包圍在封閉曲面內(nèi)電量代數(shù)和除以e0，與封閉曲面外的電荷無(wú)關(guān)。這一結(jié)論就是靜電場(chǎng)的高斯定理。,1、高斯定理,高斯定理表明是靜電場(chǎng)是有源場(chǎng) 高斯定理給出了場(chǎng)和場(chǎng)源的一種聯(lián)系，這種聯(lián)系是場(chǎng)強(qiáng)對(duì)封閉曲面的通量與場(chǎng)源間的

2、聯(lián)系，并非場(chǎng)強(qiáng)本身與源的聯(lián)系。電荷是靜電場(chǎng)的源.高斯面上的電荷問(wèn)題 高斯面把電荷區(qū)分為內(nèi)外兩種，是否存在一種點(diǎn)電荷正好在高斯面上？這是不存在的，因?yàn)橹挥悬c(diǎn)電荷的線(xiàn)度要遠(yuǎn)小于q與高斯面間的距離，才能視為點(diǎn)電荷。,高斯定理討論,高斯定理中的E問(wèn)題 高斯定理中的E是全部電荷所產(chǎn)生的E，而不管這電荷是在曲面內(nèi)部或在曲面外部。同一高斯面的E可能相同，也可能不同，因?yàn)楦咚姑媸侨我膺x取的。

3、高斯定理表明的只是電通量和電荷的關(guān)系 如果在高斯面內(nèi)部或外部電荷分布發(fā)生改變，則空間電場(chǎng)分布將發(fā)生變化，高斯面上的電場(chǎng)也會(huì)發(fā)生變化，但只要內(nèi)部總電荷數(shù)不變，高斯定理指出，電場(chǎng)對(duì)該封閉曲面的電通量并無(wú)變化。,[第1題]求均勻帶電球面產(chǎn)生的電場(chǎng)。已知球面的半徑為R，電量為Q。,[解]根據(jù)球?qū)ΨQ(chēng)性可以判定，不論在球內(nèi)還是在球外，場(chǎng)強(qiáng)的方向必定沿球的半徑，與球心等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小應(yīng)相等。作如圖所示的高斯面，當(dāng)r<

4、;R時(shí)，有：,當(dāng)r>R時(shí)，作S2的高斯面，有：,,,,,[第2題]求均勻帶電球體中所挖出的球形空腔中的電場(chǎng)強(qiáng)度。球體電荷密度為r，球體球心到空腔中心的距離為a。,2.電場(chǎng)疊加法,[解]將空腔看作是同時(shí)填滿(mǎn)+r和-r的電荷，腔內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度就由一個(gè)實(shí)心大球電荷密度為+r和一個(gè)實(shí)心小球電荷密度為-r的疊加而成，如圖所示：,,,,同理可得：,,所以，,,a為矢量，方向由O指向O’。可見(jiàn)空腔內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度是均勻的。,帶異種電荷具有同樣電荷

5、密度的兩個(gè)球有一部分重疊，則重疊部分的電場(chǎng)強(qiáng)度為：,表明該部分的電場(chǎng)是均勻場(chǎng)，方向從正電子中心指向負(fù)電荷中心。,無(wú)限長(zhǎng)圓柱體，電荷均勻分布，在內(nèi)挖出一個(gè)空腔，空腔軸線(xiàn)與圓柱體軸線(xiàn)平行，相距為a，則空腔內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：,均勻場(chǎng)，方向從O指向O’。,注：帶電圓柱體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度為：,[第3題]在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的均勻電場(chǎng)中放著一個(gè)均勻金屬球,其半徑為R,求球表面感應(yīng)電荷的分布.,[解]設(shè)整個(gè)球都均勻充電(電荷為Q)的球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為EM:,,,

6、考察兩個(gè)半徑為R, 相互錯(cuò)開(kāi)了距離l, 均勻帶電+Q和-Q, 公共區(qū)域的電荷為零. 兩個(gè)帶電球在公共區(qū)域P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為:,公共部分為均勻電場(chǎng).,[球, 球內(nèi)電場(chǎng)為零],,,設(shè)球殼的厚度為h,在面元DS上的電量為:,公共部分總的電場(chǎng)應(yīng)為零.即:,,,,,3. 電勢(shì)疊加法,對(duì)點(diǎn)電荷系，有電場(chǎng)的疊加原理，有：,此式表明，點(diǎn)電荷組的電勢(shì)等于各個(gè)電荷單獨(dú)存在時(shí)電勢(shì)的代數(shù)和(標(biāo)量和）。,[第4題]一個(gè)立方體有5個(gè)面接地,而第6個(gè)面與其余5個(gè)面絕緣

7、,電勢(shì)為U,則立方體中心的電勢(shì)是多少?,[解]由電勢(shì)的疊加原理, 中心點(diǎn)的電勢(shì)由6個(gè)面電勢(shì)疊加而成:,因?yàn)?個(gè)面幾何形狀對(duì)稱(chēng), 所以系數(shù)ki相同,,若6面等電勢(shì),均為U, 則中心點(diǎn)也為U, 所以k=1/6,所以, 當(dāng):,,[第5題] 如圖 , 兩個(gè)同心的半球面相對(duì)放置, 半徑分別為 R1 與 R2，R1>R2, 都均勻帶電，電荷面密度分別為s1 與s2 ，試求大的半球底面圓直徑 AOB上的電勢(shì)分布 。,[解]由于均勻帶電球面內(nèi)電場(chǎng)

8、強(qiáng)度處處為零, 球面外任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于全部電荷集中在球心時(shí)在該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度, 故球面內(nèi)電勢(shì)恒定, 球面外電勢(shì)與到球心的距離成反比, 電勢(shì)連續(xù)分布, 容易求出。,顯然 , 均勻帶電球面在球內(nèi)、外任一點(diǎn)的電勢(shì), 是兩個(gè)半球面貢獻(xiàn)之和, 因電勢(shì)是標(biāo)量, 半球面在任一點(diǎn)的電勢(shì)應(yīng)為球面在該點(diǎn)的電勢(shì)之半。,半徑為 R1, 電荷面密度為s1 的完整均勻帶電大球面在球內(nèi) ( 包括直徑 AOB) 的電勢(shì)恒定 , 表示為 U’1, 則：,半個(gè)大球面在A

9、OB上的電勢(shì)應(yīng)為上式的一半。,半徑為R2, 電荷面密度為s2的完整均勻帶電小球面在球內(nèi)的電勢(shì)恒定, 在球外的電勢(shì)與該處到球心的距離成反比。把完整小球面在 AOB 上各點(diǎn)的電勢(shì)表示為 U’2, 則：,式中：,同樣，半個(gè)小球面在AOB上產(chǎn)生的電勢(shì)是上式的一半；所以總電勢(shì)為二者之和：,3.帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),【第6題】處于自然長(zhǎng)度的均勻橡皮筋在伸長(zhǎng)時(shí)服從胡克定律。橡皮筋均勻帶電，其總電荷Q>0，橡皮筋處于兩個(gè)點(diǎn)電荷+q和-q的電場(chǎng)中。

10、其一端用力F1拉在兩電荷中點(diǎn)，要把另一端拉在+q右邊距離L處，應(yīng)該施加多大的力？,【解】處于兩個(gè)點(diǎn)電荷場(chǎng)中的橡皮筋各處的電場(chǎng)力不相等，因此，各部分伸長(zhǎng)量也不相等。 把橡皮筋分成n等份，每份的勁度系數(shù)為nk0,電荷量為Q/n.該單元長(zhǎng)度為Dl，兩端電場(chǎng)力增量為DFi,電勢(shì)增量為DUi,,根據(jù)胡克定律：,,,,兩邊求和取極限，有：,,,【第7題】?jī)蓚€(gè)相同的 半徑為R的球這樣放置：球心相距為a<R，兩球均勻地帶有等

11、量異號(hào)電荷Q，質(zhì)量為m，電量為q<0的小帶電體可以沿貫穿2球的細(xì)絲自由滑動(dòng)，起始小帶電體從無(wú)限遠(yuǎn)以v的速度向2球高近，小球最終停在何處？,【解】,X 只是速度為零的點(diǎn)， 不是受力為零的點(diǎn)，在該點(diǎn)粒子并不會(huì)停止運(yùn)動(dòng)。若小球的初速度必須滿(mǎn)足條件：,當(dāng)電荷從左邊入射。,非約束運(yùn)動(dòng)。粒子可以到達(dá)任一位置。不可能停止下來(lái)。,約束運(yùn)動(dòng)。粒子只能再左邊來(lái)回運(yùn)動(dòng)，不可能停止下來(lái)。,當(dāng)電荷從右邊入射。,約束運(yùn)動(dòng)。粒子只能在右左邊來(lái)回運(yùn)動(dòng)，不可

12、能停止下來(lái)。,非約束運(yùn)動(dòng)。粒子可以到達(dá)任一位置。不可能停止下來(lái)。,【第8題】擺由長(zhǎng)為l的輕桿以及固定在桿一端的質(zhì)量為m的小球組成，小球帶電荷為Q，一點(diǎn)電荷q（與Q異號(hào)）固定在懸掛點(diǎn)正上方距離為d處，求此擺的小振動(dòng)周期，當(dāng)電量為多少時(shí)才可能發(fā)生這樣的振動(dòng)？,【解】設(shè)理想單擺的振動(dòng)頻率為w，振幅為A，最大偏角為j,,設(shè)本題單擺以相同的 振幅A振動(dòng)，角頻率為w’，,設(shè)振動(dòng)為小振幅振動(dòng)， 則：,由正弦定理，有：,,,發(fā)生該振動(dòng)的條件為：,[第9

13、題]三個(gè)帶正電的粒子被固定在如圖位置。每個(gè)粒子的質(zhì)量和帶電量和相鄰粒子間距r都已經(jīng)給出。同時(shí)釋放三個(gè)粒子。求三個(gè)粒子彼此離得非常遠(yuǎn)時(shí)它們的動(dòng)能。假設(shè)粒子沿同一直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。粒子如圖分別標(biāo)號(hào)為1、2、3。,系統(tǒng)最初能量全為電勢(shì)能, 末態(tài)全為動(dòng)能:,,加速度之比為:,初速度均為零,所以,二、電容的若干問(wèn)題,一半徑為R的導(dǎo)體球，當(dāng)帶有電荷q時(shí)，其電勢(shì)為 :,故其電容為:,由半徑?jīng)Q定．若把地球作為一個(gè)孤立導(dǎo)體球，其電容也可由上式?jīng)Q定。,1.孤立導(dǎo)體

14、球的電容,【第10題】用一個(gè)錘子把一個(gè)球形電容器表面敲凹進(jìn)一些，以致使它的體積減少了3%時(shí)，它的電容值將變化多少？,體積減少3%， 半徑約減少1%， 電容減少1%！,【第11題】一個(gè)用金屬箔做成的封閉的曲面S，若它的電容值為C?，F(xiàn)將箔表面凹進(jìn)一些，新表面S*完全在原表面內(nèi)部或在原表面上，證明其電容小于C.,解法一： 用孤立導(dǎo)體球殼的電容來(lái)考慮,,,顯然，半徑越小，電容越小。,解法二：用電場(chǎng)能量來(lái)考慮，能量存在于電場(chǎng)所在的空間。能量密度為

15、：,能量不為零的區(qū)間增加，系統(tǒng)的能量增大，來(lái)考慮，能量存在于電場(chǎng)所在的空間。能量密度為：,,,,,,,2. 復(fù)雜電容器電容的計(jì)算,C=Q/U是一個(gè)普遍適用的公式，對(duì)Q1?Q2的兩導(dǎo)體，公式中的Q應(yīng)理解為用導(dǎo)線(xiàn)將兩導(dǎo)體接通時(shí)所交換的電荷量。,【第12題】半徑分別為a和b的兩個(gè)導(dǎo)體球, 相距為r(r>a+b), 現(xiàn)分別充以電壓U1和U2, 然后用細(xì)金屬線(xiàn)把它們連接起來(lái).求此時(shí)的電容.,[提示]設(shè)兩球的電勢(shì)為U1和U2, 電量為q1和q

16、2, 然后用導(dǎo)線(xiàn)連通, 各量為 U’1, U’2, q’1, q’2,聯(lián)立解出q’1,q’2, U’,,孤立導(dǎo)體的電容,【第13題】三個(gè)電容器分別有不同的電容值C1、C2、C3 ．現(xiàn)把這三個(gè)電容器組成圖示的(a)、(b)、(c)、(d)四種混聯(lián)電路，試論證：是否可以通過(guò)適當(dāng)選擇C1、C2、C3的數(shù)值，使其中某兩種混聯(lián)電路A、B間的等效電容相等．,【解】4個(gè)混聯(lián)電路A、B間的等效電容Ca、Cb、Cc、Cd分別為：,,,,,由（1）、（3）

17、式可知：,由（2）、（4）式可知,由（1）、（2）式可知,由（3）、（4）式可知,若Ca=Cd由（1）、（4）式可得,,因?yàn)?、,和,由于C1,C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此,,同理，若Cb=Cc,則有：,,由于C1,C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此,,綜合以上分析，可知這四個(gè)混聯(lián)電路的等效電容沒(méi)有一對(duì)是相等的．,【第14題】電容分別為C1,C2,C3, …, Ck的k個(gè)電容器都充電到電壓為U，然后使所有電容器的異性極

18、板串聯(lián)連接起來(lái)組成閉合電路，求在這個(gè)電路里每個(gè)電容器上的電壓。,【解】串聯(lián)后的總電壓為kU，設(shè)串聯(lián)后總電容為C0：,串聯(lián)后的等效電容C0的極板即C1左極板和Ck右極板再短路（電壓差為零）。在閉合電路中流過(guò)q的電荷量，根據(jù)電容的定義，有：,相鄰兩個(gè)極板間流過(guò)的電量亦為q，則每個(gè)電容器上的電壓變化為q/Ci, 因此穩(wěn)定后各電容器的電壓為：,[第15題]一個(gè)球形電容器由三個(gè)很薄的同心導(dǎo)體殼組成，它們的半徑分別為a,b,d。一根絕緣細(xì)導(dǎo)線(xiàn)通過(guò)中

19、間殼層的一個(gè)小孔把內(nèi)外球殼連接起來(lái)。忽略小孔的邊緣效應(yīng)。求：（1）此系統(tǒng)的電容；（2）若在中間球殼上放置任意電量Q，確定中間球殼內(nèi)外表面上的電荷分布。,[解]這相當(dāng)于內(nèi)外2個(gè)電容器并聯(lián).,設(shè)內(nèi)外兩球殼代的電量分別為Q1和Q2, 那么a,b球的的電勢(shì)差為:,d,b球的的電勢(shì)差為:,兩電容器并聯(lián), 所以:,內(nèi)外兩球形電容器的電容值為:,(2)內(nèi)外兩球形電容器的電容值為:,,【第16題】?jī)蓚€(gè)導(dǎo)體相距很遠(yuǎn)，其中一個(gè)導(dǎo)體電荷為Q1，電勢(shì)

20、為U1，另一個(gè)導(dǎo)體電荷為Q2，電勢(shì)為U2, 電容為C的電容器原來(lái)不帶電，現(xiàn)用極細(xì)的導(dǎo)線(xiàn)將它與兩導(dǎo)體相連，求電容充電后的電壓。,【解】設(shè)電容器充電到電壓U，則極板所帶的電量為CU，那么兩個(gè)導(dǎo)體所帶的電量均改變CU，兩個(gè)導(dǎo)體最終的電量分別為：（Q1-CU),(Q2+CU).,孤立帶電體的電量與導(dǎo)體的 電勢(shì)之比為常數(shù)，只與導(dǎo)體的幾何形狀，大小等有關(guān)，因此最終兩導(dǎo)體的電勢(shì)：,,【第17題】一同軸圓柱型電容器，外導(dǎo)體筒的 內(nèi)半徑為2cm，內(nèi)導(dǎo)體筒

21、的 外半徑可自由選擇，兩筒之間充滿(mǎn)各向通性的電介質(zhì)，電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為2.0×107V/m。試求該電容器所能承受的 最大電壓。,【解】設(shè)內(nèi)筒的內(nèi)外半徑分別為x、b, 內(nèi)外筒所帶的電量分別是l,-l，由高斯定理可求得內(nèi)外筒之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為：,內(nèi)外筒的電勢(shì)差為：,最大場(chǎng)強(qiáng)在x處，介質(zhì)首先要從場(chǎng)強(qiáng)最大處擊穿，故有：,代入電勢(shì)差式子，有：,求極值，有：,,,【第18題】平行板電容器間距為d,極板面積為S,連接在電動(dòng)勢(shì)為e的電源上。帶電

22、電量為Q的平行板（大小相等）完全插入到電容器中，與其中一個(gè)極板的距離為b,求作用在該極板上的力。,【解】設(shè)各板的電量如圖，則,,,A,B極板電荷在兩電容器間引起的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為E1/2, E2/2,,所以，作用在插入板上的合力為：,方向指向帶負(fù)電極板。。,,【第19題】電容為C0的平行板電容器接入到如圖的電路中，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為e的板向電容器內(nèi)部運(yùn)動(dòng)， 通過(guò)電動(dòng)勢(shì)為e1的電源的電流強(qiáng)度為恒定且其值為I，求：（1）通過(guò)電阻R1上的電

23、流；（2）電介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的速度。,【解】根據(jù)基爾霍夫定律，有：,電容器的電容隨介質(zhì)進(jìn)入而增大，A,B極板電量亦等比例增大，設(shè)Dt時(shí)間內(nèi)電容改變DC,則：,,,【第20題】半徑為R的金屬球，外面包有一層相對(duì)介電常數(shù)為er=2的均勻電解質(zhì)材料，內(nèi)外半徑分別為R1=R, R2=2R,介質(zhì)球殼內(nèi)均勻分布著電量為q0的自由電荷，金屬球接地，求介質(zhì)外表面的電勢(shì)。,【解】金屬球接地，U=0，設(shè)其上所帶的電量為q，介質(zhì)球殼內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：,介質(zhì)球殼外的電

24、場(chǎng)強(qiáng)度為：,由于球殼接地，因此介質(zhì)外表面到內(nèi)表面的 電勢(shì)差和到無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)差相等，有：：,,,,,外表面的電勢(shì)為：,【第21題】球形導(dǎo)體球懸浮在er=3.0的油槽中，球的一半在油中，另一半在空氣中。已知導(dǎo)體球所帶的凈電荷是Q0=2.0×10-6C。球的上下球面各帶多少電荷？,【解】,該式只有在介質(zhì)充滿(mǎn)電場(chǎng)所在的空間才可以用！,可以理解成2個(gè)半球，均為孤立導(dǎo)體球，電容分別為：,靜電平衡導(dǎo)體為等勢(shì)體，2個(gè)半球電容器并聯(lián)，與無(wú)限遠(yuǎn)

25、的電勢(shì)為V, 有：,極化電荷與自由電荷的關(guān)系,球面與油接觸處半球面上的極化電荷是多少？,空氣中的 電場(chǎng)強(qiáng)度和油中的 電場(chǎng)那個(gè)強(qiáng)度分別為多大？,【第23題】一個(gè)直徑為1cm、帶總電量10-8C的均勻帶電塑料球，用一根絕緣線(xiàn)懸掛起來(lái)，期底部與一個(gè)鹽水溶液的水面相距1cm，小球下面的水面涌起了一點(diǎn)。請(qǐng)估計(jì)水面涌起的高度？（忽略水的表面張力，取鹽水的 密度為1000kg/cm3.,【解】近似認(rèn)為鹽水為無(wú)限大接地導(dǎo)體，靜電感應(yīng)結(jié)果使鹽水表面出現(xiàn)總

26、量為-Q的電荷?？梢圆捎苗R像法解題，電荷Q在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為（升起高度很?。?鏡像電荷在P點(diǎn)的電場(chǎng)與上式完全一樣（大小相等，方向相同），P點(diǎn)的總電場(chǎng)為：,P點(diǎn)的電荷密度為：,,,,水面受到的力為：,,,代入數(shù)據(jù)，得：h=0.29mm,,四、電場(chǎng)的能量問(wèn)題,（1）兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng),1.點(diǎn)電荷系,相互作用能與電荷的移動(dòng)次序無(wú)關(guān)。,Ui表示除自身外，另一個(gè)點(diǎn)電荷在該處所產(chǎn)生的電勢(shì)。,,能量問(wèn)題總與1/2有關(guān)！,（2） N個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng),把2個(gè)點(diǎn)電

27、荷系統(tǒng)的相互作用能推廣到N個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)，就有：,Ui表示除自身外，所有其它點(diǎn)電荷在該處所產(chǎn)生的電勢(shì)，表達(dá)式為：,下標(biāo)i和j對(duì)稱(chēng)，表示外界做功與電荷移入的次序無(wú)關(guān)。,[第26題]正負(fù)離子相互排成一條無(wú)窮長(zhǎng)直線(xiàn)，相鄰兩離子間的距離是a，正負(fù)離子的電量為±q，求每個(gè)離子與所有其它離子的相互作用能。,[解]在一個(gè)正離子處，所有其它正離子產(chǎn)生的電勢(shì)為：,所有其它負(fù)離子產(chǎn)生的電勢(shì)為：,故一個(gè)正離子處，所有其它離子所產(chǎn)生的電勢(shì)為：,于是得一

28、個(gè)正離子與所有其它離子的相互作用能為：,對(duì)負(fù)離子，由于相互作用能正比于電荷平方，故：,[第27題]兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平面相距4x, 其間有2個(gè)點(diǎn)電荷(+Q,-Q), 距離其中一個(gè)板分別為x,3x. 求把這兩個(gè)電荷移到很遠(yuǎn)處(它們之間相距亦很遠(yuǎn)), 需要做多大的功?,所做的功等于系統(tǒng)的能量增加:,末態(tài):,初態(tài):,U+是+Q處所有其它電荷(-Q和像電荷, 不包括+Q)產(chǎn)生的電勢(shì). U-同理.,(2)求2個(gè)極板上的感應(yīng)電荷.

29、 由于中線(xiàn)上的電勢(shì)為零, 因此由+Q發(fā)出的電力線(xiàn)只有一半到達(dá)左板, 而-Q發(fā)出的電力線(xiàn)不可能到達(dá)左板, 故左板上的感應(yīng)電荷為-Q/2, 同理, 右板上的感應(yīng)電荷為+Q/2.,(3)當(dāng)+Q單獨(dú)存在時(shí), 兩極板的感應(yīng)電荷.當(dāng)+Q單獨(dú)存在時(shí), 兩極板感應(yīng)電荷總數(shù)為-Q,設(shè)左板為-Qx, 則右板為-Q+Qx. 當(dāng)-Q單獨(dú)存在時(shí), 右板為+Qx, 則左板為Q-Qx對(duì)左板, 2個(gè)都存在時(shí)的感應(yīng)電荷為它們單獨(dú)存在時(shí)感應(yīng)電荷之和:,[第28題]

30、在邊長(zhǎng)為a的正六邊形各頂點(diǎn)有固定的點(diǎn)電荷,它們的電量相間地為Q和-Q.求: (1)系統(tǒng)的電勢(shì)能; (2)若外力將其中相鄰的兩個(gè)點(diǎn)電荷緩慢地移到無(wú)限遠(yuǎn)處, 其余電荷位置不變, 外力需做多少功?,[解] (1)任一電荷Q所在處的電勢(shì)為:,由對(duì)稱(chēng)性, 有:,系統(tǒng)的電勢(shì)能為:,(2)余下四個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電勢(shì)能為:,無(wú)限遠(yuǎn)處一對(duì)電荷間的電勢(shì)能為:,做功等于系統(tǒng)電勢(shì)的改變:,得:,2、帶電體系統(tǒng)的靜電能,體分布電荷 把

31、點(diǎn)電荷體系的相互作用能推廣到連續(xù)分布的帶電體系，對(duì)體分布電荷系統(tǒng)，有：,式中U1(r)表示除re(r)DV以外，其它所有電荷在r處所產(chǎn)生的電勢(shì)。,（1）單個(gè)帶電體的靜電能,U(r)和U1(r)的關(guān)系：,設(shè)DV 為球體，半徑為a，電荷密度為re，在球體內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：,即re(r)DV在r處產(chǎn)生的電勢(shì)隨DV趨于零而趨于零。即U(r)和U1(r)的的差別可以忽略。,所以，靜電能公式可以改寫(xiě)為：,,這就是體電荷分布的靜電能公式。,面電荷

32、分布 面電荷密度為se(r), se(r)DS在自身處產(chǎn)生的電勢(shì)不會(huì)大于 sea/2e0, 該電勢(shì)將隨DS趨于零而趨于零。即U(r)和U1(r)的的差別也可以忽略。,線(xiàn)電荷分布 線(xiàn)電荷密度為le(l), le(l)Dl 在自身處產(chǎn)生的電勢(shì)不會(huì)隨r趨于零而趨于零。反而會(huì)趨于無(wú)窮大?。?，即U(r)和U1(r)的的差別不可忽略！是否線(xiàn)電荷分布的靜電能只能寫(xiě)成下列形式？,否！其原因是：要把電荷從無(wú)限分散狀態(tài)壓縮到一條幾何線(xiàn)上，

33、外界要做無(wú)窮大的功！,均勻帶電球殼的靜電能為：,均勻帶電球體的靜電能為：,當(dāng)R?0時(shí)，W??，如果電子被看成是點(diǎn)電荷，則其自能為無(wú)窮大！,【第29題】半徑為R的一個(gè)雨點(diǎn), 帶有電量Q, 今將它打破成兩個(gè)完全相同的雨滴, 并分開(kāi)到很遠(yuǎn), 靜電能改變多少?,[解]雨滴是導(dǎo)體, 電荷只能分布在表面, 故它的靜電能為:,分成2個(gè)雨滴后, 每個(gè)電量為Q/2, 半徑 為:,因相距很遠(yuǎn), 略去相互作用能, 靜電能的增量為:,靜電能減少, 同號(hào)相斥,

34、 分開(kāi)時(shí), 靜電力對(duì)外做正功.,,（2）多個(gè)帶電體的靜電能,空間的總電勢(shì)可以分為兩部分：,,Ui(r)表示除第i個(gè)帶電體外所有其它帶電體在r處產(chǎn)生的電勢(shì),,U(i)(r)表示第i個(gè)帶電體在r處產(chǎn)生的電勢(shì),總靜電能,,,電偶極子在均勻外電場(chǎng)中的電勢(shì)能,如圖，正負(fù)電荷的電勢(shì)能為：,電偶極子在外電場(chǎng)中的電勢(shì)能為：,寫(xiě)成矢量形式，有：,為什么沒(méi)有1/2?,【第30題】一電偶極子p垂直放置在無(wú)限大接地導(dǎo)體前, 距離為d, 求它受到導(dǎo)體的作用力.,

35、電偶極子鏡象p’在p處產(chǎn)生的電場(chǎng):,p的電勢(shì)能為:,由虛功原理:,得到:,3、電容器的儲(chǔ)能,對(duì)電容器，如果每個(gè)極板的電量為Q，則：,,本公式僅在兩極板電荷數(shù)量相同時(shí)才可以用！,【第31題】?jī)呻娙萜鞯碾娙轂镃1和C2，它們分別蓄有電荷量Q1和Q2，用導(dǎo)線(xiàn)聯(lián)接，求所蓄電能的損失量。,[解]未接通開(kāi)關(guān)，電能為：,接通開(kāi)關(guān)后，靜電能為：,能量損失為：,如果是異號(hào)電荷的兩極板相連接，則靜電能損失為：,【第32題】一個(gè)單電子器件由金屬層M薄絕緣層I

36、和金屬層M 構(gòu)成,在經(jīng)典情況下,電子不可能從一個(gè)金屬穿過(guò)絕緣層到達(dá)另一個(gè)金屬. 但在量子物理中,這種現(xiàn)象是可以發(fā)生的.1)把該器件看成是一個(gè)電容為C的電容器, 電子以隧穿的方式到達(dá)另一邊, 如果隧穿引起體系的能量增加,則此過(guò)程就不會(huì)再發(fā)生, 稱(chēng)庫(kù)侖阻塞. 求VAB=VA-VB在什么范圍內(nèi)單電子隧穿被禁止.2)假定VAB=0.10mV是發(fā)生隧穿的電壓,求電容值.3)用圖1所示的器件與電壓恒為V的恒壓源相接,組成雙結(jié)結(jié)構(gòu)的器件來(lái)觀(guān)

37、察單電子隧穿,中間單金屬塊稱(chēng)單電子島,已知島中有-ne的凈電量, n可正,可負(fù)或零, 兩個(gè)MIM結(jié)的電容分別為CS和CD, 試證明雙結(jié)器件中的靜電能中與島上凈電荷量相關(guān)的靜電能為:,[解]設(shè)隧穿前極板A所帶的電量為Q,當(dāng)一個(gè)電子從A隧穿到B 后, A板的電量為Q’=Q+e,隧穿禁止要求:,解得:,同理, 若一個(gè)電子從B板隧穿到A板, A板的電量為Q’=Q-e 同理可得隧穿不能發(fā)生的條件為:,因此, 當(dāng)電壓為:,之間時(shí),單電

38、子隧穿不能發(fā)生,出現(xiàn)庫(kù)侖阻塞,2) 當(dāng)VAB=e/2C=0.1mV時(shí), C=8.0 × 10-16F,如右等效圖,設(shè) Q1和Q2分別為Cs和Sd的電荷量,體系的靜電能為:,總電壓為:,解上三式,得:,,與島凈電荷有關(guān),4. 能量密度,討論: 靜電場(chǎng)能量服從疊加原理嗎?,設(shè)兩個(gè)帶電體各自產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1, E2,則:,,,,各自的靜電能,,相互作用能,兩孤立導(dǎo)體球的總能量為:,兩導(dǎo)體球組成球殼:,一個(gè)孤立系統(tǒng)在滿(mǎn)足能量守

39、恒的條件下，所經(jīng)歷的虛擬過(guò)程，所做的功等于系統(tǒng)的能量減少。,五、導(dǎo)體受力若干問(wèn)題,1.虛功原理,第i個(gè)帶電體，在qi不變的情況下，受力：,（1）絕緣孤立帶電體（q不變）,或：,（2）非孤立帶電體（U不變）,存在外界電源，使各導(dǎo)體Uj不變，,外電源對(duì)系統(tǒng)做功,,所以有,兩組的公式不同，是因?yàn)檫M(jìn)行的虛擬過(guò)程不同，但都滿(mǎn)足守恒律，因而其結(jié)果是相同的。,【第34題】一平行板電容器兩極板的面積都是S，相距為d，中間有一塊厚度為t，介電常數(shù)為er

40、的平行介質(zhì)平板，接通開(kāi)關(guān)，使電容器充電到電壓為U，略去邊緣效應(yīng)。（1）斷開(kāi)電源，把介質(zhì)板抽出，試問(wèn)需要做多少功？（2）如果在不斷開(kāi)電源的情況下抽出介質(zhì)板，則需做多少功？,[解]（1）斷開(kāi)電源，電容器兩極板的電荷總量Q不變,介質(zhì)板未抽出時(shí), 其電場(chǎng)強(qiáng)度為：,電容器的儲(chǔ)存的能量為：,電勢(shì)差為：,電容為：,電介質(zhì)抽出后，電容器的電容為：,這時(shí)電容器的儲(chǔ)存的能量為,電介質(zhì)抽出后，電容器所儲(chǔ)存的靜電能量的增量為：,DW>0表示抽出介質(zhì)板后，

41、電容器儲(chǔ)存的能量增加了，這部分能量來(lái)自于抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功，故在斷開(kāi)電源的條件下，抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功為：,（2）不斷開(kāi)電源，兩極板間的電勢(shì)差U不變，抽出電介質(zhì)后電容器的電荷量為：,故抽出電介質(zhì)后，電容器的電荷增量為：,DQ<0表示抽出介質(zhì)時(shí)，有電荷從電容器流向電源，因此，也就伴有相應(yīng)的能量DWB從電容器流向電源:,抽出介質(zhì)后，電容器所儲(chǔ)存的能量增量為：,DW<0表示, 抽出介質(zhì)板后，電容器儲(chǔ)存的能量減少 了。,把

42、電源和電容作為一個(gè)系統(tǒng)，抽出介質(zhì)板后，系統(tǒng)的能量增量為：,DW>0表示抽出介質(zhì)板后，系統(tǒng)的能量增加了，所增加的能量來(lái)自于抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功，故在不斷開(kāi)電源的條件下，抽出介質(zhì)板時(shí)外力所做的功為：,平行板電容器,2. 導(dǎo)體表面作用力,單位面積上的力為：,該力的方向總是從導(dǎo)體向外，即每個(gè)帶電導(dǎo)體表面存在向外的拉力，大小等于導(dǎo)體表面上的能量密度，該式雖然從平板電容器導(dǎo)出，但它是普遍正確的。,,導(dǎo)體的目標(biāo)：占領(lǐng)全世界！,整個(gè)導(dǎo)體面上

43、的力為：,注意：?jiǎn)挝幻娣e上的力為1/2sE, 不是sE；F是矢量式。,【第35題】“乒乓式”電容器一個(gè)電容器由兩塊半徑為R的平行圓盤(pán)組成，間距為d(d<<R)，上盤(pán)連接一電壓為V的直流恒壓源，下盤(pán)放一個(gè)小薄園片，質(zhì)量為m，半徑為r(r<<d).（1）放進(jìn)小圓片之前，兩極板的作用力；（2）小圓片上電量q與電壓V成正比關(guān)系，求比例系數(shù)；（3）系統(tǒng)垂直放入重力場(chǎng)中，欲使小圓片靜止，需增加電壓超過(guò)一個(gè)閾值Vt

44、h, 求Vth；,（4）當(dāng)電壓V> Vth時(shí), 小圓片上下運(yùn)動(dòng)，加上碰撞是非彈性的，恢復(fù)系數(shù)h=v后/v前，小圓盤(pán)多次碰撞底部得到一個(gè)穩(wěn)定速度，求該速度；（5）達(dá)到穩(wěn)定后通過(guò)電容器的 電流I; (6)當(dāng)電壓緩慢減少時(shí)，存在一個(gè)臨界電壓Vc，低于這個(gè)電壓電荷將停止流動(dòng)，求這個(gè)電壓。,,【解】（1）,使用虛功原理,（2）由高斯定律：,,,（3）小圓片上合力為：,欲使小圓片上合力大于零，必須,,(4)小圓片多次碰撞底部后保持勻速v

45、s，底部提供使小圓片保持穩(wěn)定的動(dòng)能為：,每次碰撞后，小圓片獲得的電能為：,每次碰撞后，小圓片損失的動(dòng)能為：,設(shè)ks為碰撞底盤(pán)后的動(dòng)能，則,為到達(dá)頂部碰撞前的能量，每完成一次能量損失為Dk,則,達(dá)到穩(wěn)定，必須有：,,,（5）小園片與頂部碰撞后，帶上與頂部相同符號(hào)的電荷，因此，小圓片上下碰撞一次，電荷改變?yōu)椋?時(shí)間間隔為：,向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間,向下運(yùn)動(dòng)時(shí)間,當(dāng)mgd<<qV時(shí)， 近似有：,即向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱(chēng)的，,由于小圓片碰撞

46、頂部和碰撞底部后速度不變，可推出：,因?yàn)閙gd<<qV,,,,,,(6)當(dāng)小圓片失去動(dòng)能停止，將不能再到達(dá)頂部，即初始電壓Vc由小 圓片在頂部圓盤(pán)的狀態(tài)確定。欲使到達(dá)頂部的速度為零，在頂部的 動(dòng)能應(yīng)滿(mǎn)足：,,,,,【第36題】一半徑為a的絕緣導(dǎo)體球, 球心與一無(wú)限大導(dǎo)體平面相距為z, 設(shè)z>>a.(1)求球和平面之間的電容的首項(xiàng).(2)求球和平面之間的電容的一階修正項(xiàng);(3)當(dāng)球帶電為Q時(shí),將球與導(dǎo)體平面完