光學(xué)中的數(shù)學(xué)模型與仿真光學(xué)模型與仿真42章節(jié)

1、2024年4月4日,第1頁(yè),第4章 光纖中光的傳輸特性與仿真,內(nèi)容光纖的參數(shù)定義光纖波導(dǎo)的電磁理論解法光纖中的線性偏振模式LPmn單模光纖特性分析多模光纖特性分析MATLAB預(yù)備技能與技巧,2024年4月4日,第2頁(yè),4.3 光纖中的線性偏振模式LPmn,一、LP模的簡(jiǎn)并及其特征方程,2024年4月4日,第3頁(yè),為了完整地描述光纖中的線偏振模，還需考慮正交方向上的偏振模式。對(duì)于LP模電磁場(chǎng)的橫向分量滿足： 纖芯中

2、的電磁場(chǎng)分量表達(dá)式：,2024年4月4日,第4頁(yè),包層中的電磁場(chǎng)分量表達(dá)式：,上面描述的是電場(chǎng)沿x方向的線偏振。,2024年4月4日,第5頁(yè),當(dāng) 時(shí)， 模有兩種正交偏振態(tài)的選擇方式，每一種偏振態(tài)又有兩種三角函數(shù)的選擇方式。因此 模式在 時(shí)是四度簡(jiǎn)并的，這四種模式具有同一個(gè)傳播常數(shù) 。,當(dāng) 時(shí)，由于 ，此時(shí) 模僅包含相互正交的兩個(gè)偏振態(tài)的簡(jiǎn)并。,2024年4月4日

3、,第6頁(yè),2024年4月4日,第7頁(yè),在上面的分析中采用了弱導(dǎo)近似，即是在運(yùn)用表達(dá)式時(shí)做了 的處理。實(shí)際上由于 ，它們之間微小的差別將使得 模的傳播常數(shù)與 模及 模稍有差別。換言之，合成模場(chǎng)將沿傳播方向周期性發(fā)生變化。因而 模并非嚴(yán)格意義上的模式，故稱為偽模式。,2024年4月4日,第8頁(yè),二、LP模的截止條件,模是由弱導(dǎo)條件下簡(jiǎn)并模式 模和

4、 模組合而成，它們的傳播常數(shù) 相同，特征方程等價(jià)。 模和 模的截止條件就是 模的截止條件。以 模的特征方程為例：,2024年4月4日,第9頁(yè),當(dāng) 時(shí)，Bessel函數(shù)有的漸進(jìn)關(guān)系式：,當(dāng) 時(shí)，Bessel函數(shù)有的漸進(jìn)關(guān)系式：,2024年4月4日,第10頁(yè),根據(jù)以上兩組漸近式，可以寫出在 時(shí)， 這三種

5、 模式的特征方程如下：,（3-64）,（3-65）,（3-66）,2024年4月4日,第11頁(yè),因此在模式截止時(shí)，上面3個(gè)方程的左邊也等于零，利用這一判據(jù)得到這3種LP模式的截止條件如下：,2024年4月4日,第12頁(yè),三、LP模歸一化截止頻率的數(shù)值求解,由上節(jié)分析可知，3中LP模式的截止條件就是不同階Bessel函數(shù)的根?？梢岳肕ATLAB強(qiáng)大的數(shù)值求解功能獲得這些不同階數(shù)的Bessel函數(shù)的根的數(shù)值解，從而得到LP模式相應(yīng)的歸一化

6、頻率。,模的歸一化截止頻率是滿足其截止條件： 的根，即一階Bessel函數(shù)的根，可以在MATLAB中對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解。,2024年4月4日,第13頁(yè),2024年4月4日,第14頁(yè),程序運(yùn)行后可得如圖所示的結(jié)果：,此外，可以在MATLAB的命令窗口中獲得一階Bessel函數(shù)零點(diǎn)的10個(gè)數(shù)值解，如：0, 3.8317, 7.0156, 10.1735，…,2024年4月4日,第15頁(yè),同樣也可以得到零階Bessel

7、函數(shù)和二階Bessel函數(shù)的曲線及前10個(gè)零點(diǎn)。,2024年4月4日,第16頁(yè),2024年4月4日,第17頁(yè),在MATLAB中，也可以采用更為通用的函數(shù)形式來求解n階Bessel函數(shù)的前m個(gè)根。程序如下：,2024年4月4日,第18頁(yè),只要在MATLAB的命令窗口中調(diào)用函數(shù)FindZeroOfBesselj(m,n),就可以求得對(duì)應(yīng)的m階Bessel函數(shù)的前n個(gè)零點(diǎn)。,2024年4月4日,第19頁(yè),根據(jù)LP模式的截止條件，加上用MAT

8、LAB求得的各階Bessel函數(shù)的根，可以得到部分低階的LP模式的歸一化截止頻率。,2024年4月4日,第20頁(yè),四、階躍型折射率光纖中LP模的模式容量,多模光纖根據(jù)其V值的不同，能夠容納的LP模的模式總數(shù)也會(huì)發(fā)生變化。由 模的截止條件式：,式中m是 階模對(duì)應(yīng)的根的序數(shù)。所求得根的數(shù)目就決定了多模光纖中能夠傳輸?shù)膶?dǎo)模個(gè)數(shù)。光纖參數(shù) 和入射光波長(zhǎng) 給定后，其歸一化頻率V即可求出。 當(dāng)m很大時(shí)，根Um的

9、值也很大，由漸進(jìn)關(guān)系式：,2024年4月4日,第21頁(yè),當(dāng)U>>1時(shí)，,聯(lián)合截止條件可得：,當(dāng)m較大時(shí)，有：,2024年4月4日,第22頁(yè),由于 ，因此在V值給定的情況下， 和 的取值范圍由下式確定：,由于V值的限制， 和 的取值范圍只限于圖中陰影部分。,2024年4月4日,第23頁(yè),考慮到m較大時(shí)，每個(gè)LP模式都是四重簡(jiǎn)并的，因此在m較大時(shí)對(duì)于一個(gè)給定的V值，多模光纖中可能存在的模式總數(shù)有上頁(yè)圖中陰

10、影部分面積的4倍給出，即模式總數(shù)為：,M也被稱為多模光纖中的模式容量。,2024年4月4日,第24頁(yè),五、階躍型折射率光纖中LP模的光功率,對(duì)于光纖中的任一導(dǎo)模來說，其場(chǎng)量在纖芯中呈振蕩分布，在包層中呈指數(shù)衰減分布，進(jìn)而導(dǎo)波模式所攜帶的電磁能量(光功率流)一部分在纖芯中傳輸，另一部分在包層中傳輸。如果一模式遠(yuǎn)離它的截止點(diǎn)則該模式的能量更集中于纖芯之中；如果靠近其截止點(diǎn)，即 ，則其場(chǎng)量更加深入包層區(qū)域，從而在包層

11、中傳輸能量比例更大。當(dāng)處于截止?fàn)顟B(tài)時(shí)，包層中的場(chǎng)量不再衰減，稱為輻射模。,2024年4月4日,第25頁(yè),若電磁場(chǎng)分量均以實(shí)函數(shù)的形式表示，則在階躍折射率光纖的纖芯和包層中的功率流，即坡印亭矢量由下式給出：,沿光纖軸向的分量為：,2024年4月4日,第26頁(yè),將纖芯和包層中的電磁場(chǎng)分量表達(dá)式代入上式，可得：,包含于纖芯和包層中的總光功率分別由以下兩式給出：,2024年4月4日,第27頁(yè),由于Bessel函數(shù)有如下積分形式：,三角函數(shù)積分滿

12、足：,其中：,2024年4月4日,第28頁(yè),聯(lián)立以上關(guān)系式可以得到：,光纖中的總功率為：,通常情況下，比較關(guān)心的是纖芯中的光功率在光纖中的總功率中所占的比例，即光纖纖芯的光功率填充因子Γ。基于弱導(dǎo)波模方法，Gloge已經(jīng)得到了其精確度在纖芯包層折射率差Δ量級(jí)內(nèi)的結(jié)果。,2024年4月4日,第29頁(yè),對(duì)于一個(gè)特定的導(dǎo)模模式V，其光纖纖芯中的光功率填充因子的計(jì)算公式為：,利用歸一化相位常數(shù)b也可將上式寫成：,2024年4月4日,第30頁(yè),4

13、.2 光纖波導(dǎo)的電磁理論解法,一、柱坐標(biāo)系亥姆霍茲方程和Bessel函數(shù),2024年4月4日,第31頁(yè),在包層區(qū)，當(dāng)r趨于無窮時(shí)，電場(chǎng)應(yīng)趨于零。進(jìn)而應(yīng)選取第二類變型bessel函數(shù) ，可以看出該函數(shù)在r較大時(shí)呈指數(shù)規(guī)律衰減，符合物理要求。當(dāng)r趨于零時(shí)函數(shù)值雖趨于無窮大，單包層區(qū)是限制在r>a的范圍內(nèi)，不會(huì)產(chǎn)生矛盾。,2024年4月4日,第32頁(yè),形成導(dǎo)波時(shí)，要求 為正實(shí)數(shù)，因而有：,由此可得：,這表示導(dǎo)波的相位常

14、數(shù) 是介于纖芯材料和包層材料中平面波的波數(shù)之間的。,2024年4月4日,第33頁(yè),三、矢量解的特征方程,在介質(zhì)波導(dǎo)嚴(yán)格的矢量解中，包含了參數(shù) 和 ，這三個(gè)參數(shù)可以借助于 的定義式及從邊界條件中得到的特征方程中確定。下面從光纖的邊界條件來求特征方程。,光纖中的邊界條件有：,2024年4月4日,第34頁(yè),將橫向場(chǎng)分量代入邊界條件中，可得：,將以上兩式相乘可得：,（3-36）,（3-37）,2024年4月4日,

15、第35頁(yè),,這一方程就是光纖中導(dǎo)波的特征方程。討論光纖中的模式特性都是以此為依據(jù)。求解出 后，可以進(jìn)一步確定不同模式的傳播常數(shù) 。一般來說，特征方程式超越方程，只能以數(shù)值解法來求解。,2024年4月4日,第36頁(yè),四、導(dǎo)波模的分類和特征方程,導(dǎo)波模的分類首先根據(jù)圓周方向的序號(hào) ,其次根據(jù)TE模、TM模和混合模（EH模和HE模）的符號(hào)，最后根據(jù)半徑方向的模序號(hào)。,當(dāng) 時(shí)，光纖中只存在TE模和TM模。當(dāng)

16、 時(shí)出現(xiàn)的是 和 共存的EH模和HE模。為了區(qū)分，將特征方程右側(cè)取正號(hào)時(shí)對(duì)應(yīng)的模式成為EH模，取符號(hào)對(duì)應(yīng)的模式成為HE模。,另外，當(dāng) 時(shí)， 為常數(shù)，這意味著在圓周方向是軸對(duì)稱的，即TE、TM模對(duì)應(yīng)幾何光線中的子午線，而混合模EH、HE則對(duì)應(yīng)著偏斜光線。,2024年4月4日,第37頁(yè),（1） TE模和TM模,由光纖矢量解的表達(dá)式可知，對(duì)于TE模，必有因此有常數(shù) ，代入方程(3-37),意味著場(chǎng)量不

17、是? 的函數(shù)，場(chǎng)分量在光纖中呈軸對(duì)稱分布。也就是說，只有場(chǎng)結(jié)構(gòu)呈軸對(duì)稱分布的電磁波，才有可能在光纖或介質(zhì)波導(dǎo)中以TE波或TM波的模式傳輸。,2024年4月4日,第38頁(yè),在特征方程(3-41)中令 ，就可得到TE模和TM模的特征方程：,這就是TE模式的特征方程。利用貝塞爾函數(shù)遞推公式：,特征方程可變換為：,2024年4月4日,第39頁(yè),（2） EH模和HE模,當(dāng) 時(shí)，場(chǎng)沿圓周方向按 或 的函