高數(shù)第1章極限計算方法總結(jié)

1、1極限計算方法總結(jié) 極限計算方法總結(jié)一、極限定義、運算法則和一些結(jié)果 一、極限定義、運算法則和一些結(jié)果1．定義 ．定義：數(shù)列極限、函數(shù)極限，課本 課本 42 頁的表格必須認真填寫并掌握。 頁的表格必須認真填寫并掌握。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如： ； ； 等。 0 ) 1 (1 lim 2 ? ??? ? n n 5 ) 1 3 ( lim2 ? ?? xx 1 ,

2、0 lim ? ?? ? q q nn 當(dāng)定義證明按著總結(jié)的四個步驟來，缺一不可！ 定義證明按著總結(jié)的四個步驟來，缺一不可?。?）在后面求極限時， （1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。2．極限運算法則 ．極限運算法則定理 定理 1 已知 ， 都存在，極限值分別為 A，B，則下面極限都存在， ) ( lim x f ) ( lim x g且（1） （2） B A x g x f ? ? ? )] (

3、) ( lim[ B A x g x f ? ? ? ) ( ) ( lim（3）說明 說明：極限號下面的極限過程是一致的； ) 0 ( , ) () ( lim 成立 此時需 ? ? B BAx gx f同時注意法則成立的條件 同時注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時，不能用。3．兩個重要極限 ．兩個重要極限（1） （2） ； 1 sin lim0 ?? xxx e x xx ? ??10 ) 1 ( lim e xxx ? ?? ?

4、 ) 1 1 ( lim說明 說明：（1）不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形 ）不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式。 式。（2）一定注意兩個重要極限成立的條件。 ）一定注意兩個重要極限成立的條件。 例如： ， ， ；等等。 1 33 sin lim0 ?? xxx e x xx ? ? ??210 ) 2 1 ( lim e xxx ? ?? ?3 ) 3 1 ( lim4．等價

5、無窮小 ．等價無窮小定理 定理 2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是 0） 。定理 定理 3 當(dāng) 時，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是 0） ，且相互等價，即有： 0 ? x～ ～ ～ ～ ～ ～。 x x sin x tan x arcsin x arctan ) 1 ln( x ? 1 ? x e說明 說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量 x 換成 時（ ） ，仍有上面的等價 ) (x g 0 ) ( ? x g關(guān)系成立，例如：當(dāng)

6、 時， ～ ；～ 。 0 ? x 1 3 ? x e x 3 ) 1 ln( 2 x ?2 x ?定理 定理 4 如果函數(shù) 都是 時的無窮小，且 ～ ) ( ), ( ), ( ), ( 1 1 x g x f x g x f 0 x x ? ) (x f ) ( 1 x f， ～ ，則當(dāng) 存在時， 也存在且等于 。 ) (x g ) ( 1 x g ) () ( lim110 x gx fx x? ) () ( lim0 x gx

7、fx x? ) () ( lim110 x gx fx x?5．連續(xù)性 ．連續(xù)性33． 利用兩個重要極限求極限 利用兩個重要極限求極限例 5 2 0 3cos 1 lim xxx??解：原式=。 61) 2 ( 122 sin 2lim 32 sin 2lim220 220 ???? ? xxxxx x注：本題也可以用洛比達法則 注：本題也可以用洛比達法則(第三章 第三章)例 6 xx x20 ) sin 3 1 ( lim ??解

8、：原式=。6sin 6sin 310sin 6sin 310 ] ) sin 3 1 [( lim ) sin 3 1 ( lim ????? ? ?? ? ? ? ? e x xxxxxxxxx例 7 nn nn ) 12 ( lim ??? ?解：原式=。3 13311331] ) 13 1 [( lim ) 13 1 ( lim ? ????? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? e n nnn nnnn nn4．

9、 利用定理 利用定理 2 求極限 求極限例 8 x xx1 sin lim 20 ?解：原式=0 （定理 2 的結(jié)果） 。5． 利用等價無窮小代換（定理 利用等價無窮小代換（定理 4）求極限 ）求極限例 9 ) arctan() 3 1 ln( lim 2 0 xx xx??解： ～ ， ～ ， 原式=。 ) 3 1 ln( 0 x x ? ? 時， ? x 3 ) arctan( 2 x 2 x ? 3 3 lim 2 0 ? ?

10、? xx xx例 10 x xe e x xx sin limsin0 ???解：原式=。 1 sin) sin ( lim sin) 1 ( limsin0sin sin0 ? ?? ? ????? x xx x ex xe e xxx x xx注：下面的解法是錯誤的 注：下面的解法是錯誤的：原式=。 1 sinsin lim sin) 1 ( ) 1 ( lim0sin0 ? ?? ? ?? ? ?? ? x xx xx xe e