參數(shù)估計(jì)及其在實(shí)際生活中的應(yīng)用論文

1、 參數(shù)估計(jì)的若干方法及應(yīng)用 參數(shù)估計(jì)的若干方法及應(yīng)用陳茜瑤 2012 級(jí)數(shù)學(xué)一班 060112041摘要 摘要: 參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)理論的一種基本形式，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一種重要分支，其中最常見(jiàn)的估計(jì)方法是點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。本文將對(duì)矩估計(jì)，極大似然估計(jì)，區(qū)間估計(jì)法等三種參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行推廣分析。對(duì)它們的范圍進(jìn)行比較討論，最后我們對(duì)其各自的重要性及其在實(shí)際中的應(yīng)用作一介紹。關(guān)鍵詞： 關(guān)鍵詞： 參數(shù)估計(jì)；矩

2、估計(jì) ；極大似然估計(jì)；區(qū)間估計(jì)引言 引言: 隨著數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用更加廣泛,參數(shù)估計(jì)在醫(yī)療，交通，市場(chǎng)消費(fèi),甚至是自然災(zāi)害的預(yù)測(cè)等實(shí)際生活中都有著舉足輕重的作用，它科學(xué)且精確地讓我們預(yù)測(cè)一個(gè)參數(shù)的值，以達(dá)到避免災(zāi)害或是獲取利益等作用。參數(shù)估計(jì)已不知不覺(jué)滲透到生活的各個(gè)方面，它對(duì)人們的生活帶來(lái)的很大的方便。但是對(duì)于參數(shù)估計(jì)方法，好多人卻不是很了解，所以，為了人們能更好的利用參數(shù)估計(jì)為生產(chǎn)生活服務(wù)，本文將在論文中對(duì)參數(shù)估計(jì)的具體方法做一個(gè)較為系

3、統(tǒng)細(xì)致的講解。參數(shù)估計(jì)方法在人們生活中的應(yīng)用，便于人們能更了解參數(shù)估計(jì)，接觸參數(shù)估計(jì)，很好把它應(yīng)用到生活之中。這樣，就會(huì)避免不必要的盲目性，對(duì)事物的發(fā)展有個(gè)相對(duì)明確的判斷和把握，為生活帶來(lái)方便和效益。1. 1.參數(shù)估計(jì) 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)（parameter estimation）是根據(jù)從總體中抽取的樣本估計(jì)總體分布中包含的未知參數(shù)的方法。人們常常需要根據(jù)手中的數(shù)據(jù)，分析或推斷數(shù)據(jù)反映的本質(zhì)規(guī)律。即根據(jù)樣本數(shù)據(jù)選擇統(tǒng)計(jì)量去推斷總體的分布或

4、數(shù)字特征等。統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的核心問(wèn)題。所謂統(tǒng)計(jì)推斷是指根據(jù)樣本對(duì)總體分布或分布的數(shù)字特征等作出合理的推斷。它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種基本形式，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要分支，分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩部分。也就是當(dāng)在已知系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)時(shí)，用系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)計(jì)算系統(tǒng)模型參數(shù)的過(guò)程。18 世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家 C.F.高斯首先提出參數(shù)估計(jì)的方法，20 世紀(jì) 60 年代，隨著電子計(jì)算機(jī)的普及，參數(shù)估計(jì)有了飛速的發(fā)展。這里的參數(shù)是指如下參數(shù) .如：二

5、點(diǎn)分布 b（1,p）中的概率 p，正態(tài)分布 N（ ）中 ? ? ?,的 和 。 ? ?分布中所含的未知參數(shù) 的函數(shù)。如：服從正態(tài)分布的 的變量 X 不超過(guò)某給定 ? ? ?2 , N ? ?值 a 的概率 是未知參數(shù)的函數(shù)； ( ) ( ) a P X a ??? ? ? ? , ? ?分布的各種特征數(shù)也都是未知參數(shù)。如：均值 ，方差 分布位數(shù)等。 ( ) E X ( ) Var X一般情況下，常用 表示參數(shù)，參數(shù) 所有可能取值組成的集

6、合稱(chēng)為稱(chēng)為參數(shù)空間，用 ? ? ?表示。2. 2.參數(shù)估計(jì)的常用方法 參數(shù)估計(jì)的常用方法定義 定義 2.1 2.1 設(shè) 是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，用來(lái)估計(jì)未知參數(shù) 的統(tǒng)計(jì)量 1, , n x x ? ?3則稱(chēng) 是 的最大似然估計(jì)，簡(jiǎn)稱(chēng)為 MLE ( ) max ( ) L L? ? ???? ? ???2.3 2.3 最小二乘法 最小二乘法最小二乘法是常用的估計(jì)方法，最用于線性模型在 中，若 2 ( , , ) n Y X I ? ?（2

7、-3） ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) min Y X Y X Y X Y X?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?就稱(chēng) 為 的最小二乘估計(jì)。 ? ? ?2.4 2.4 派生估計(jì)法 派生估計(jì)法設(shè) ，已知 X 的樣本為： ，求參數(shù) 的 1 2 ~ ( ; , , , ) x l X F x ? ? ? ??? 1 2 , , , n X X X ??? 1 2 , , , l ? ? ? ???派生估計(jì)量。令 ，已知 Y 的

8、常用的分布函數(shù)為 。 1 2 ( ; , , , ) l Y g X ? ? ? ? ??? 1 2 ( ; , , , ) Y l F y a a a ???記 ，把 看成是來(lái)自 Y 的樣本，假設(shè) 1 2 ( ; , , , ), 1,2, , i i l Y g X i n ? ? ? ? ??? ? ??? 1 2 , , , n Y Y Y ???的某種類(lèi)型估計(jì)量是： 其中 。 k a~1 2 ? ( ; , , , ), 1

9、,2, , k k l a T Y k l ? ? ? ? ??? ? ???~1 2 ( , , , ) n Y Y Y Y ? ???再次假設(shè) 是已知參數(shù)，我們可以記 為對(duì)應(yīng)的該種類(lèi)型的派生估 1 2 , , , l a a a ??? 1 2 , , , l ? ? ? ???計(jì)量為 ，那么 就是是下列方程組的解： 1 2 ? ? ? , , , l ? ? ? ??? 1 2 ? ? ? , , , l ? ? ? ???~1

10、2 ? ? ? ( ; , , , ), 1,2, , k k l a T Y k l ? ? ? ? ??? ? ???從而我們就可以得到 的值，就可以得到 的派生估計(jì)量。在得到 1 2 ? ? ? , , , l ? ? ? ??? 1 2 , , , l ? ? ? ???上面的值時(shí)，我們必須要先了解下面兩條定理：定理 定理 1、 為來(lái)自總體 的樣本觀測(cè)值，若估計(jì)量~1 ( , , ) n x x x ? ???~1 ( , ,

11、) n X X X ? ???；那么對(duì) ， 是關(guān)于 t 的連續(xù)函數(shù)，那么 也將 ? a以概率收斂于a n N ? ? ( , ) H x t~? ( , ) H x a以概率收斂于 。~ ( , ) H x a定理 定理 2、總體 X 服從分布 ，而 ， 為 ( ) X F X ? ， ( ; ) ~ ( ; ) Y Y g X F x a ? ?~1 ( , , ) n x x x ? ???來(lái)自總體 的樣本觀測(cè)值，而 , 的派生估計(jì)

12、值 滿足~1 ( , , ) n X X X ? ???~? ( ; ) a a T x ? ? 的估計(jì) ? ? ?條件 ，通過(guò)化簡(jiǎn)可以解得 存在并且關(guān)于 a 連續(xù)，如果原估計(jì)量~ ? ( ; ) a T x ? ?~ ? ( ; ) H x a ? ? ? a以概率收斂于 ，那么派生估計(jì)量 也以概率收斂于 。 a ? ? ?2.5 2.5 參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)確定的值去估計(jì)未知參數(shù)，但不知其精確程度。在實(shí)際中，

13、我們需要求出未知參數(shù)的近似值，還要度量點(diǎn)估計(jì)的精確度。其方法就是給未知參數(shù)一個(gè)區(qū)間，使其蓋住 概率盡可能大，這就是參數(shù)區(qū)間。 ?2.5.1 2.5.1 置信區(qū) 置信區(qū)定義 定義 2.5.1 2.5.1 設(shè) 是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間為 ， 是來(lái)自該總體的樣本，對(duì) ? ? 1, , n x x ?給定的一個(gè) （0< <1）,假設(shè)有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 和 ? ? ? ? 1, , L L n x x ? ?? ?? ?,若對(duì)任意的 ，