解析系統(tǒng)的正規(guī)形及其應(yīng)用.pdf

1、正規(guī)形理論的基本思想是：對一個給定的非線性微分系統(tǒng)，如何尋找形式簡單的微分系統(tǒng)，同時保持其“本質(zhì)性質(zhì)”不變，也就是所求得的簡單微分系統(tǒng)與原微分系統(tǒng)是“等價”的。這里面臨的一個問題是如何界定兩個微分系統(tǒng)是等價的？現(xiàn)有的文獻(xiàn)都把這種等價描述為所求得的簡單微分系統(tǒng)與原微分系統(tǒng)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與定性結(jié)構(gòu)應(yīng)該是兩個不同的概念，并且定性結(jié)構(gòu)比拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更能體現(xiàn)一個非線性微分系統(tǒng)的動力學(xué)行為。比如平面非退化線性系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)與焦點(diǎn)具有相同的

2、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但顯然它們的動力學(xué)行為是完全不同的！然而，到目前為止，在國內(nèi)外的文獻(xiàn)中還沒有給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義。本文將給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義，同時按照已有的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定義和我們所給出的定性結(jié)構(gòu)的定義分別對平面非退化解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類。結(jié)果表明：我們的定義是合理的，并且對于平面非退化解析系統(tǒng)，按定性結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類比按拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分類能更好地刻畫系統(tǒng)的動力學(xué)行為。
　　同一個非線性微分系統(tǒng)的正規(guī)形一般是不唯一的

3、，因此研究兩個正規(guī)形之間的關(guān)系是有意義的。本文的另一個工作是利用向量場的內(nèi)積，給出了冪零系統(tǒng)兩種不同正規(guī)形的單項式系數(shù)之間的關(guān)系。
　　冪零系統(tǒng)是一類具有廣泛應(yīng)用價值的非線性微分系統(tǒng)，例如在研究偏微分方程行波解的存在性時，通過一個行波變換，常常把原來的偏微分方程化為一個常微分的冪零系統(tǒng)進(jìn)行研究。本文的最后一個工作是利用正規(guī)形理論及擬齊次極坐標(biāo)Blow up變換研究冪零系統(tǒng)奇點(diǎn)的單值性問題。
　　最后，我們對全文進(jìn)行了總結(jié)與展