幾個(gè)偏微分方程的保結(jié)構(gòu)算法構(gòu)造及誤差分析.pdf

1、在“數(shù)值算法應(yīng)盡可能多地保持原問(wèn)題的本質(zhì)特征”的指導(dǎo)原則下，馮康先生首先提出了保結(jié)構(gòu)算法的思想.由于其優(yōu)良的穩(wěn)定性和精確的長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值表現(xiàn)，目前保結(jié)構(gòu)算法在求解哈密頓常微分方程上已經(jīng)取得了顯著的效果.但是，非線性波的傳播，電磁場(chǎng)的演化等實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常涉及無(wú)窮維哈密頓系統(tǒng).對(duì)該系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法研究還不夠完善仍處于起步階段，有許多基礎(chǔ)理論與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題函待解決.因此，本文致力于進(jìn)一步研究無(wú)窮維哈密頓系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法，主要包含兩個(gè)部分.第一部分主

2、要是繼續(xù)發(fā)展無(wú)窮維哈密頓系統(tǒng)保結(jié)構(gòu)算法的基本理論.一方面，由于局部保結(jié)構(gòu)算法在提出后研究工作很少，所以我們首先以Korteweg-de Vries方程為研究對(duì)象，為其構(gòu)造出一系列局部保結(jié)構(gòu)算法.然后，我們系統(tǒng)給出一維和二維情況下一般守恒偏微分系統(tǒng)的局部保結(jié)構(gòu)算法的構(gòu)造框架，該框架適用于一大類(lèi)守恒偏微分方程.另一方面，由于保結(jié)構(gòu)算法的傳統(tǒng)誤差估計(jì)工作還不是很多，所以我們構(gòu)造并分析在不同邊界條件下非線性Schr(o)dinger方程和Kle

3、in-Gordon-Schr(o)dinger方程的保結(jié)構(gòu)算法.第二部分是研究新構(gòu)造的保結(jié)構(gòu)算法在非線性波方程數(shù)值模擬上的應(yīng)用.主要研究成果如下:
　　1.由于偏微分方程的結(jié)構(gòu)是定義在整體時(shí)間層上的，結(jié)構(gòu)的保持必須和邊界條件相關(guān).因此，當(dāng)討論一個(gè)給定偏微分方程的傳統(tǒng)保結(jié)構(gòu)算法時(shí)，除了要考察該方程是否是保守系統(tǒng)外，還必須看所給的邊界條件是否合適.為了擴(kuò)大保結(jié)構(gòu)算法的適用范圍，我們基于復(fù)合構(gòu)造方法以Korteweg-de Vries方

4、程為研究對(duì)象，給出構(gòu)造其一系列局部保結(jié)構(gòu)算法的框架，包括八個(gè)多辛算法，八個(gè)局部能量守恒算法以及八個(gè)局部動(dòng)量守恒算法.這些局部保結(jié)構(gòu)算法在任何的時(shí)間和空間區(qū)域上都保持離散的局部守恒結(jié)構(gòu).當(dāng)邊界條件適當(dāng)時(shí)，這些局部保結(jié)構(gòu)算法就是全局保結(jié)構(gòu)算法，反之不然.我們還給出了一些格式的線性穩(wěn)定性分析.另外，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明所構(gòu)造的局部保結(jié)構(gòu)算法不但能得到較好的數(shù)值解，還可以保持系統(tǒng)的相應(yīng)守恒律.這個(gè)統(tǒng)一框架可以很容易的被應(yīng)用于許多其他方程.
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5、.很多偏微分方程能被寫(xiě)成一個(gè)多辛哈密頓系統(tǒng).多辛哈密頓系統(tǒng)有三個(gè)局部守恒律，即多辛守恒律，局部能量守恒律和局部動(dòng)量守恒律.雖然已有工作驗(yàn)證了局部保結(jié)構(gòu)算法理論可以適用于若干具體方程，但是仍然還有許多守恒型偏微分方程需要去驗(yàn)證.所以，我們對(duì)一般保守偏微分方程，從多辛形式出發(fā)，系統(tǒng)地給出其一維和二維情況下的局部保結(jié)構(gòu)算法的構(gòu)造框架.這些所提出的算法中包括了著名的多辛Preissmann格式和Euler-box格式，以及許多新格式.另外，我們

6、不僅利用平均向量場(chǎng)方法對(duì)空間進(jìn)行離散構(gòu)造局部能量守恒算法還利用其對(duì)時(shí)間方向進(jìn)行離散來(lái)得到局部動(dòng)量守恒算法.這里所提出的局部保結(jié)構(gòu)算法都不依賴于邊界條件并且適用于一大類(lèi)守恒偏微分方程.利用此框架，我們?yōu)榉蔷€性Schr(o)dinger方程和Klein-Gordon-Schr(o)dinger方程構(gòu)造出一系列局部保結(jié)構(gòu)算法.數(shù)值實(shí)驗(yàn)也表明所提算法的良好表現(xiàn).
　　3.近年來(lái)，高階緊有限差分方法在高精度波的模擬中起著重要作用.我們提出并

7、分析了Dirichlet邊界條件下Klein-Gordon-Schr(o)dinger方程的一個(gè)兩層守恒高階緊差分格式.我們使用實(shí)函數(shù)φ(x，t)的時(shí)間導(dǎo)作為一個(gè)獨(dú)立變量并重寫(xiě)原初邊值問(wèn)題為一個(gè)等價(jià)的系統(tǒng)來(lái)克服理論分析該方程兩層緊格式的困難.另外，對(duì)于緊算子和Dirichlet邊界條件帶來(lái)的困難，我們將所提格式的逐點(diǎn)分量形式轉(zhuǎn)化成等價(jià)的向量形式.接著，我們運(yùn)用能量方法和矩陣知識(shí)來(lái)證明該格式保持離散的總電荷和總能量.僅在原方程的解滿足一定

8、正則性的條件下，我們分析了該算法在L2模意義下的誤差估計(jì).數(shù)值實(shí)驗(yàn)印證了理論分析.
　　4.基于線方法的數(shù)值方法，除了有限差分方法以外，F(xiàn)ourier擬譜方法也由于其高精度和高效性成為最常采用的方法之一.對(duì)耦合非線性Schr(o)dinger系統(tǒng)，我們基于Fourier擬譜方法，Crank-Nicolson方法和蛙跳方法給出一個(gè)高效的守恒格式.我們的主要思想有兩部分.第一，我們是從耦合非線性Schr(o)dinger系統(tǒng)的哈密頓結(jié)

9、構(gòu)出發(fā)并且所得的格式仍然保持哈密頓特性.第二，在空間上，我們使用Fourier擬譜方法進(jìn)行離散，在時(shí)間上，我們針對(duì)線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)分別使用Crank-Nicolson方法和蛙跳方法進(jìn)行離散.使用能量方法和傳統(tǒng)的插值理論，我們嚴(yán)格證明了所提格式僅在原方程的解在滿足一定的正則性的條件下的L2模誤差估計(jì).最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析.
　　5.在本文中，我們還對(duì)周期邊界條件下Klein-Gordon-Schr(o)dinger方程提出并

10、分析了一個(gè)新的Fourier擬譜守恒格式.首先，我們將原方程改寫(xiě)成一個(gè)無(wú)窮維的哈密頓系統(tǒng).接著，我們借助于Fourier擬譜方法使用線方法的思想得到一個(gè)半離散系統(tǒng).該系統(tǒng)可以被表示成一個(gè)典則的有限維哈密頓系統(tǒng).然后，對(duì)所得半離散系統(tǒng)，我們利用對(duì)稱離散梯度方法得到一個(gè)同時(shí)保持能量和電荷的格式.基于離散守恒律以及由Fourier擬譜方法誘導(dǎo)的半范與由有限差分方法誘導(dǎo)的半范的等價(jià)性，我們證明了Fourier擬譜解在最大模意義下的有界性.僅在原