隨機優(yōu)化中基于樣本風(fēng)險測度及分布魯棒的不確定性研究.pdf

1、隨機優(yōu)化是數(shù)學(xué)規(guī)劃的重要分支,是在不確定性環(huán)境下做出決策的數(shù)學(xué)方法。作為現(xiàn)代優(yōu)化理論與概率統(tǒng)計方法結(jié)合的產(chǎn)物,隨機優(yōu)化在投資組合,通訊,工程管理以及交通物流等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。隨著社會的發(fā)展和科技水平的提高,隨機因素所產(chǎn)生的影響越來越不可忽視。所以近十幾年來,作為解決在隨機環(huán)境下的決策問題的有效方法,隨機優(yōu)化受到了越來越多的重視。本文以樣本,風(fēng)險測度和分布魯棒這三個互相關(guān)聯(lián),互相包容,互相補充的角度為切入點,著重研究了將樣本均值逼近方

2、法應(yīng)用于隨機優(yōu)化問題的理論基礎(chǔ),對不同的風(fēng)險約束優(yōu)化問題,如Conditional Value at Risk(CVaR)風(fēng)險約束優(yōu)化問題,帶有隨機二階占優(yōu)約束的隨機優(yōu)化問題采用樣本均值逼近方法時的漸進收斂性分析(收斂性和收斂速度),帶有隨機二階占優(yōu)約束的隨機優(yōu)化問題的有效數(shù)值算法及其在實際問題上的應(yīng)用(投資組合問題,供應(yīng)鏈問題)以及分布魯棒優(yōu)化問題的漸進收斂性分析。
　　本文的主要工作和創(chuàng)新如下:
　　(1)本文通過提出一

3、個新的定義:almost H-calmness,并將一致大偏差定理中的H-calmness條件弱化為almost H-calmness條件,從而給出一個新的一致大偏差定理。新的定理將被應(yīng)用于建立關(guān)于決策變量分段光滑的隨機函數(shù)(隨機分段光滑函數(shù))的Clarke次梯度的一致指數(shù)速度收斂定理,而對隨機分段光滑函數(shù)的Clarke次梯度的分析是分析很多非光滑隨機優(yōu)化問題的基礎(chǔ)。該定理是分析帶有CVaR約束優(yōu)化問題和帶有隨機二階占優(yōu)約束的隨機優(yōu)化問

4、題等很多非光滑優(yōu)化問題的漸進收斂性的重要理論工具。
　　(2)針對帶有如CVaR,二階隨機占優(yōu)等風(fēng)險約束的隨機優(yōu)化問題,本文給出了在采用樣本均值逼近方法時,隨機優(yōu)化問題的穩(wěn)定性分析。本文系統(tǒng)地研究了當(dāng)隨機優(yōu)化問題的約束規(guī)格條件成立時,其樣本逼近問題的約束規(guī)格;采用一致大數(shù)定律和本文推廣的一致大偏差定理,證明了隨著樣本量的增加,近似問題的穩(wěn)定點(包括全局和局部最優(yōu)解)和最優(yōu)值依概率1(w.p.1)收斂于原問題的穩(wěn)定點和最優(yōu)值,其收斂

5、速度為指數(shù)速度。
　　(3)本文解決了由Dentcheva和Ruszczy′nski提出的帶有隨機二階占優(yōu)約束的隨機優(yōu)化問題不滿足Slater約束規(guī)格的問題。從而可以采用精確罰函數(shù)方法來解決帶有隨機二階占優(yōu)約束的隨機優(yōu)化問題。本文更提出了基于精確罰函數(shù)形式的水平函數(shù)法以及改進的切平面方法等解帶有隨機二階占優(yōu)約束的隨機優(yōu)化問題的有效數(shù)值方法。并將所提出的理論及數(shù)值方法,應(yīng)用于幾個簡單的投資組合問題和供應(yīng)鏈問題中,并與之前的算法比較,

6、取得了很好的數(shù)值結(jié)果。
　　(4)本文針對分布魯棒優(yōu)化模型,系統(tǒng)地給出了當(dāng)采用歷史數(shù)據(jù)、樣本信息等構(gòu)造的近似分布集合收斂到真正的分布集合時該模型的穩(wěn)定性分析。這允許我們將這樣的收斂性結(jié)果應(yīng)用于一切滿足適當(dāng)條件的分布集合。本文驗證了當(dāng)采用矩信息方法,混合分布方法,由Delage和Ye提出的由矩信息和協(xié)方差共同構(gòu)造的方法等一系列構(gòu)造隨機分布集合的方法構(gòu)造近似分布集合時,本文提出的收斂性結(jié)果的條件都被滿足。這意味著可以直接應(yīng)用該結(jié)果給出