Riesz平均、Fourier限制性估計及Klein-Gordon-Hartree方程低正則性.pdf

1、本論文致力于研究具有有限型凸曲面上的Riesz平均算子Lp有界性、Fourier限制性對偶估計及Klein-Gordon-Hartree方程在低正則空間中的整體適定性，眾所周知，Bochner-Riesz猜想和Fourier限制性猜想都是調(diào)和分析中著名的公開問題，要解決這些猜想是相當困難和具有挑戰(zhàn)性的，但針對某些特殊情形下來解決或者推廣這類結(jié)果還是可能的，這些核心分析問題同偏微分方程的研究緊密聯(lián)系，例如Fourier限制性定理蘊含著色散

2、方程的Strichartz估計.
　　為了方便閱讀和理解，在緒論章節(jié)里，我們扼要介紹一些調(diào)和分析的工具和方法，這些工具和思想與本文密切相關(guān)，例如:駐相分析方法、振蕩積分估計以及消失性的開發(fā)利用.這些在本文克服困難和解決問題時起著關(guān)鍵作用.
　　第二章利用調(diào)和分析方法建立Klein-Gordon-Hartree方程在低正則空間中的整體適定性，基本思路是，利用Bourgain的Fourier截斷方法，將初始值分解成低頻和高頻兩部

3、分.用原方程演化高頻部分，由小解的整體存在理論得到這部分的整體解;用相差方程演化低頻部分，再通過控制Hamiltonian量，將局部解延拓為整體解，從而最終得到原始Cauchy問題的整體解.如何將局部解延拓為整體解，我們遇到兩個本質(zhì)的困難，其一，我們所考慮的方程是次共形的，因而scaling所建議的Strichartz估計并不一定是最優(yōu)的.其二，非線性項是非局部項（|x|-γ*|φ|2）φ.卷積相當于負導數(shù)，且在一定程度上破壞了結(jié)構(gòu)，阻

4、礙我們利用精細的Strichartz估計，為了克服第一個困難，我們開發(fā)利用了Klein-Gordon方程相比于波方程在Strichartz估計容許對選取上更加靈活的特性，并選取合適的參數(shù)，對于第二個困難，我們構(gòu)造了個交換子，充分利用消失性和Coifman-Meyer多線性乘子定理建立這個交換子的估計，來控制Hamiltonian量.
　　第三章主要研究有限型凸曲面所對應(yīng)的Riesz平均算子的Lp估計.Boehner-Riesz猜想

5、是調(diào)和分析中著名的公開問題，而這章旨在將高斯曲率處處不為零的水平集∑上Riesz平均算子的Lp結(jié)果推廣到滿足凸有限型幾何性質(zhì)的∑上Riesz平均算子，這類算子估計的建立促進Boussinesq等色散方程的Strichartz估計的建立和適定性研究.本章首先介紹Bochner-Riesz猜想的研究背景并給出主要結(jié)論，其次證明主要定理.我們將主要定理的證明歸結(jié)為證明一個振蕩積分算子的Lp估計，這個振蕩積分估計類似于H(o)rmander考慮

6、的振蕩積分算子，參見文獻[51]中的定理2.2.1.這部分歸結(jié)過程的思想來源于[48，51].其次，利用TT*方法將這個振蕩積分的證明歸結(jié)為證明一個變系數(shù)的振蕩積分估計.最后，我們利用駐相分析的方法，并結(jié)合[5]中的想法和凸有限型幾何性質(zhì)建立振蕩積分的估計，在完成這個結(jié)果之后，我們發(fā)現(xiàn)[24]用另外一種方法得到了類似的結(jié)論，
　　第四章著力研究Fourier限制性問題.Fourier限制性問題與上面提到的Boehner-Riesz

7、猜想同樣也是調(diào)和分析中著名的公開問題，它不僅與Bochner-Riesz猜想緊密聯(lián)系，還同Kakeya猜想密切相關(guān).要直接改進目前最好的結(jié)果或者證明這個猜想是很困難，很具有挑戰(zhàn)性的，但是可以嘗試著從其它的方面（例如在某種特殊情況下）來證明這個猜想，最近，Shao[54，55]在假設(shè)測試函數(shù)在空間方向是徑向?qū)ΨQ的條件下證明了錐面和拋物面所對應(yīng)的限制性猜想，一個有趣的觀察是:若假設(shè)測試函數(shù)是徑向?qū)ΨQ的，則相當于假設(shè)測試函數(shù)在角變量上具有任意

8、好的正則性;換言之，徑向?qū)ΨQ函數(shù)的所有Lqθ(Sn-1)范數(shù)都是等價的.受這個觀察的啟發(fā)，我們試圖利用Lqt(R;Lqrn-1dr，L(q)θ(Sn-1))(q-≤q）范數(shù)來代替Lqt,x范數(shù)將關(guān)于空間的徑向?qū)ΨQ的假設(shè)條件去掉，如果我們能夠證明(4.1.3)在(q)=q時也成立，那么我們就證明了Fourier限制性猜想，但不幸的是我們只能證明(q)≤2時(4.1.3)對錐面成立，本章包含了四個主要結(jié)論，其中前兩個是關(guān)于錐面的，后兩個是關(guān)

9、于拋物面的，對于錐面的第一個結(jié)果，雖然我們?nèi)サ袅藴y試函數(shù)關(guān)于空間方向徑向?qū)ΨQ的假設(shè)，但增加了測試函數(shù)對應(yīng)的球調(diào)和展開至多為有限項的限制.因此，在這種情況下我們不需要分析Bessel函數(shù)關(guān)于其階數(shù)的一致衰減估計，關(guān)于錐面的第二個結(jié)果是第一個結(jié)果更深的研究.在第二個結(jié)果中，我們通過結(jié)合eit|ξ|的振蕩性并利用駐相分析方法重新分析Bessel函數(shù)漸進行為，將前面對測試函數(shù)有限的球調(diào)和展開的假設(shè)條件去掉.后面兩個結(jié)果分別是關(guān)于拋物面的線性限制