連續(xù)與離散Fourier限制性估計(jì)和有界區(qū)波動方程及其相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.pdf

1、本文分為三章。在第一章中，我們考慮調(diào)和分析的一個(gè)基本問題:分?jǐn)?shù)階曲面上測度Fourier變換的有界性，亦即連續(xù)型限制定理。圍繞著這個(gè)問題，我們還將討論Strichartz估計(jì)，它的線性和多線性形式;雙線性限制估計(jì);Carleman估計(jì)與唯一開拓問題以及Schr(o)dinger算子的點(diǎn)態(tài)收斂性。此中公開問題有很多，既有經(jīng)典理論中的遺留問題也有未開墾的新領(lǐng)域。第二章考慮緊致光滑流形上的Schr(o)dinger算子，亦即離散型的Fouri

2、er限制定理。其中，我們側(cè)重于介紹Bourgain的工作及其猜想。最后在第三章，我們著重介紹一個(gè)非線性波動方程組的初邊值問題。關(guān)于非線性波動方程的Cauchy問題，在近幾十年來有著非?；钴S的研究，涌現(xiàn)出不少成果。特別在是以調(diào)和分析和泛函分析為主要工具，研究其整體解的存在唯一性、散射理論、爆破現(xiàn)象和爆破機(jī)制等核心數(shù)學(xué)問題上，人們已經(jīng)取得了非常多的進(jìn)展。然而，我們在實(shí)際應(yīng)用中遇到的問題都不可能是沒有邊界條件的系統(tǒng)。因此，考慮初邊值問題就變得

3、非常迫切并且具有很強(qiáng)的實(shí)際意義。由于受到方法的制約，這方面的工作并不是很多而是正處于起步階段。法國學(xué)派在這一問題上取得了先驅(qū)性的成果，特別是以Lebeau，Burq和Planchon為代表的數(shù)學(xué)家。
　　本文是作者的碩士論文，旨在總結(jié)調(diào)和分析與色散方程中的一些問題。第一章以分?jǐn)?shù)階曲面為模型，作者系統(tǒng)的考察了其上的連續(xù)型Fourier限制定理及與之相關(guān)的內(nèi)容。做為離散型限制定理的模型，第二章是為理解流形上Schr(o)dinger方

4、程而做的一個(gè)很簡略的概括。它被控制于很短的篇幅之內(nèi)。我們相信這個(gè)方向的發(fā)展是很具有潛力的。因此，作者不僅用自己的語言重新整理Burq、Gérard和Bourgain等數(shù)學(xué)家的工作，而且還補(bǔ)充了原文中欠缺的證明并在附錄中將原文難以理解的證明給出全新的論證。第三部分是作者已發(fā)表的文章。此外，我們還加注了一些初邊值問題的基本提法和半群技術(shù)。最后的附錄包括一個(gè)雙線性特征值估計(jì)在歐氏空間的版本和Weyl和式的估計(jì)。前者有助于讀者理解擬微分算子的運(yùn)