連續(xù)與離散SG方程及相關(guān)孤子族的精確解析解.pdf

1、本文研究幾個(gè)可積的偏微分方程,包括連續(xù)和離散的sine-Gordon方程(SG),變形Korteweg-de Vries方程(mKdV)等。為計(jì)算這些可積模型的精確解析解,應(yīng)用了代數(shù)曲線方法,并與特征值問題非線性化相結(jié)合,求解分為“分解,拉直,反演”三個(gè)步驟。首先,從與SG方程和mKdV方程相關(guān)的譜問題出發(fā),借助基本恒等式和Lenard分析等強(qiáng)有力工具,得到三族可積模型(孤子族)及相應(yīng)的零曲率表示。它們分別是:mKdV族,algebra

2、ic SG族和2+1 SG族。在Bargmann約束下,通過將兩個(gè)譜問題非線性化,得到兩個(gè)有限維Liouville可積系統(tǒng)。有趣的是這兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的Lax-Moser矩陣和相同的N-守恒積分系,這些守恒積分兩兩對(duì)合,在相空間的某開集上函數(shù)獨(dú)立。孤子方程(可積的偏微分方程)被分解為幾個(gè)Liouville可積的常微分方程,其相容解生成可積偏微分方程的特解。
　　由Lax-Moser矩陣決定一條代數(shù)曲線,在其Jacobi簇上,這些常

3、微分方程的Hamiliton相流被拉直,于是可以直接積出。最后通過Jacobi反演,借助多元theta函數(shù),得到這些偏微分方程的精確解析解。Darboux變換(DT)是構(gòu)造孤子方程精確解的十分有效的方法。
　　本文除用此方法解決兩個(gè)與Toda鏈相關(guān)的離散孤子方程的求解問題之外,還成功地從mKdV-SG族的Darboux變換中找到一個(gè)離散譜問題。從連續(xù)和離散譜問題組成的Lax對(duì)的相容條件出發(fā),導(dǎo)出離散的SG方程。Lax對(duì)的離散部分由