F-調(diào)和映射和緊致帶邊流形黎曼度量的Ricci形變.pdf

1、本文分兩部分。在第一部分中，討論了調(diào)和映射的推廣F-調(diào)和映射的一些性質(zhì)。在第二部分中研究了高維帶邊黎曼流形上的Ricci流. 設(shè)F：[0，+∞)→[0，+∞)是C2函數(shù)且在(0，+∞)上F’＞0，對于黎曼流形(M，g)，(N，h)之間的光滑映射φ：M→N,Ara[1]引進(jìn)了F-能量的定義：EF(φ)=∫MF(｜dφ｜2/2)*1.F-調(diào)和映射φ就是F-能量泛函的的臨界點(diǎn)；當(dāng)F(t)=t，[(2t)p/2]/p，et時(shí)分別就是通常

2、的調(diào)和映射，P-調(diào)和映射和指數(shù)調(diào)和映射。通過計(jì)算F-能量泛函的第一變分，Ara得到了命題1.1.1[Ara1]：φ：M→N是F-調(diào)和映射當(dāng)且僅當(dāng)τF(φ)=0其中τF(φ)=-d*(F’(｜dφ｜2/2)dφ)稱為F-張力場在文[Ara1]中還得到了F-能量泛函的第二變分，李錦堂把它改寫成以下形式引理1.1.1[李]：設(shè)φ：M→N是F-調(diào)和映射，則第二變分可寫成I(φ*V,φ*V)=∫M{F″(｜dφ｜2/2)〈(-▽)φ*V,dφ〉2

3、-〈(-▽)ei(dφV),(-▽)eiF′(｜dφ｜2/2)dφV〉}+∫MF′(｜dφ｜2/2)〈-2(-▽)ei(dφ(▽eiV)+dφ(▽ei▽eiV)-φ*RicMV,φ*V〉=P+Q其中V∈Γ(φ-1TN)，(-▽)為Γ(φ-1TN)上的聯(lián)絡(luò)。 若對于任何V∈Γ(φ-1TN)，都有I(V,V)≥0，則稱F-調(diào)和映射φ是穩(wěn)定的；否則稱φ為不穩(wěn)定的。利用上面的引理我們得到定理1.1.1：設(shè)Mn→Rn+p是一緊致無邊子流形

4、，若存在負(fù)常數(shù)B使得2〈h(ei，ek)，h(ei，ej)〉-〈h(ei，ei)，h(ek，ej)〉≤Bδjk其中h(ei，ek)為第二基本形式，且F″≤0，則從Mn到任何黎曼流形N的穩(wěn)定F-調(diào)和映射必為常值映射。 類似調(diào)和映射Ara在[Ara1]中定義了F-能量泛函的應(yīng)力能量張量SF(φ)=F(｜dφ｜2/2))·g-F′(｜dφ｜2/2)·φ*h我們得到下面兩個(gè)重要公式1.若向量場X具有緊致集∫M(divSF(φ))(X)+

5、∫M〈▽X，SF(φ)〉=0(2)2.若(e)D是M中的超曲面∫(e)DF(｜dφ｜2/2)〈X，n〉=∫(e)DF′(|dφ|2/2)〈φ*X,φ*n〉+∫D〈▽X，SF(φ)〉+∫D(divSF(φ))(X)(3)利用以上公式我們證明了下面的定理：定理1.2.1：設(shè)M是完備.單連通具有非正截面曲率的m維Riemann流形，它截面曲率的變化不大(具體范圍見證明).設(shè)φ是從M到任何Riemann流形的F-調(diào)和跌射，F(xiàn)滿足：xF″(x)≤

6、(CF+1)F(x)，其中CF=inf{C≥0|F′(x)/tC非增加}如果φ的F-能量慢發(fā)散(定義見證明)，那么φ必為常值映射。 定理1.2.2：設(shè)φ：M→N是F-調(diào)和映射，F(xiàn)滿足：xF′(x)≤(CF+1)F(x)那么，對任何x∈B1/2(x0)和0＜σ≤ρ≤1/2有下列單調(diào)不等式eCΛσσ2(CF+1)-m∫Bσ(x)F(｜dφ｜2/2)*1≤eCΛρρ2(CF+1)-m∫Bρ(x)F(｜dφ｜2/2)*1其中C是只依賴于

7、M的常數(shù)，Λ是依賴于B1(x0)中截面曲率的上下界的常數(shù)。 利用文[Ara2]中得到的F-調(diào)和映射的Bochner公式，本文得到了定理1.3.1：設(shè)M是完備非緊的Riemman流形，它的Ricci曲率非負(fù)，設(shè)N是具有非正截面曲率的Riemman流形.φ：M→N是F-能量有限的F-調(diào)和映射，如果F滿足：xF′(x)≤(CF+1)F(x)和F′(x)+2xF″(x)≥CF+1，且|▽dφ|≤C|dφ|，C為正常數(shù)那么，φ一定是常值映

8、射。 定義Cφ={x∈M|dφx=0}M*：=M-Cφ在點(diǎn)x處的垂直空間為：Vx=ker{dφx}∈TxM；點(diǎn)x處的水平空間為Hx=Vx⊥φ稱為水平共形的，如果存在函數(shù)λ：M*→R+使得λ2g(X，Y)=h(dφ(X)，dφ(X))對所有X.Y∈Vx⊥和x∈M*成立。當(dāng)F-調(diào)和映射滿足水平共行條件時(shí)，我們有以下定理定理1.4.1：M是緊致連通的黎曼流形，N是一黎曼流形，其上存在一個(gè)嚴(yán)格下調(diào)和函數(shù)f，△f＞0若F：[0-∞]→[0

9、-∞]是嚴(yán)格增加C2的函數(shù)那么，任何從M到N水平共形的F-調(diào)和映射φ必定是常值映射。 定理1.4.2：假設(shè)M是完備非緊黎曼流形，N是一黎曼流形，其上存在一個(gè)嚴(yán)格下調(diào)和函數(shù)f，△f＞0如果∫M(F′(｜dφ｜2/2)|dφ|)2＜∞且E(f)＜∞或∫MF′(｜dφ｜2/2)|dφ|＜∞且f有界，則任何從M到N水平共形的F-調(diào)和映射φ必定是常值映射。 Ricci流的研究始于Hamilton的1982年的文章[Ha1]。在這篇

10、文章Hamilton不僅引入了Ricci流這個(gè)概念，并且證明了具有正Ricci曲率的閉3-流形上一定存在著常正曲率度量。接著，在另外一篇非常重要的文章[Ha2]中，Hamilton不進(jìn)一步利用Ricci流的方法證明了任何有著正曲率算子的閉4-流形是拓?fù)涞腟4或RP4。對于維數(shù)n≥4的黎曼流形，huisken證明如果初始的度量的正曲率算子加上足夠強(qiáng)的拼擠條件，也能夠得到類似的結(jié)果，見[Hu1]。而Margerin在[Ma]中也獨(dú)立的證明了

11、類似的結(jié)果，并且他的拼擠條件條件要比[Hu1]弱。 在1996年，Shen在[Shen]中考慮帶邊三維流形上的黎曼度量的Ricci形變，證明了如果初始三維流形的黎曼度量具有正Ricci曲率和全測地邊界，則此三維黎曼流形上存在著常正曲率的黎曼度量。我們利用Margerin的方法把Shen的結(jié)果推廣為高維情形。 假設(shè)Mn是一n維(n≥4)的光滑緊致的黎曼流形。為了方便起見，本文中指標(biāo)范圍約定如下1≤i，j，k…≤n；1≤α，

12、β，γ，…≤n-1.假設(shè)(e)M≠φ，令g={gij}是M上的黎曼度量。用Rc={Rij}和R分別表示M的Ricci曲率和數(shù)量曲率。同樣令h={hαβ}為(e)M的第二基本形式。黎曼曲率張量Rm={Rijkl}可以分解為三個(gè)正交部分且每個(gè)部分與Rm有相同的對稱性：Rm=W+V+U，(1.1.1)其中W={Wijkl}是Weyl共形曲率張量，V={Vijkl}，U={Uijkl}分別表示無跡的Ricci部分和數(shù)量曲率部分。 定義：

13、對于任意常數(shù)λ，若hαβ=λgαβ，(1.1.2)在(e)M恒成立，則稱(e)M是全臍的.若常數(shù)λ=0，則稱(e)M是全測地的。文獻(xiàn)[Shen]證明了如下定理和推論。 定理[Shen]：對于任意給定的黎曼流形(M，g0)，則方程{(e)/(e)tgij=-2Rij，x∈M,gij(x，0)=g0(x)，x∈M，(1.1.3)hαβ=λgαβ，x∈(e)M，存在短時(shí)間解。 推論[Shen]：假設(shè)(M，g)是一具有正Ricc

14、i曲率和全測地邊界的緊致三維黎曼流形，則(M，g)通過Ricci流可以形變?yōu)?M，g∞)使得(M，g∞)具有常正曲率和全測地邊界。 在本文中用Ricci流的方法研究n維(n≥4)的緊致帶邊流形，得到類似與文[Shen]的結(jié)果。 定義：C(n)-pinched曲率是指R＞0且|(~R)m|2＜C(n)R2(1.1.4)其中R和(~R)m分別表示數(shù)量曲率和零數(shù)量曲率張量(具體定義見下文)。定理2.1.1假設(shè)n≥4，任何具有C