彈性桿波導(dǎo)中幾類非線性演化方程及其孤波解和沖擊波解.pdf

1、二十世紀(jì)六十年代，自然科學(xué)的許多科學(xué)分支幾乎不約而同地出現(xiàn)了非線性問題的研究熱潮，諸方面的研究匯成了非線性的洪流，孤子、湍流、混沌、分形及復(fù)雜系統(tǒng)等新的物理現(xiàn)象被揭示，大大擴(kuò)展了人們的視野，并導(dǎo)致了自然科學(xué)認(rèn)識(shí)論和發(fā)展觀的一場大革命。非線性科學(xué)已成為近代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志，它是自然科學(xué)各科學(xué)分支共同關(guān)心的真正的基礎(chǔ)性研究。非線性科學(xué)涉及到自然界諸多復(fù)雜現(xiàn)象，具有廣闊應(yīng)用前景。特別是非線性動(dòng)力學(xué)和非線性波動(dòng)的研究對(duì)于解決物理學(xué)、化學(xué)、

2、生物學(xué)和地球物理學(xué)中遇到的復(fù)雜現(xiàn)象和問題有著極其重要的意義。 非線性科學(xué)發(fā)展中一個(gè)重要成就就是孤立子理論的建立。在許多非線性物理領(lǐng)域，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一大批非線性演化方程具有孤立子解。這些方程的共同特征是具有無窮個(gè)守恒律、可用散射反演法解析求解、存在B(a)cklund變換、完全可積分等。孤立子典型的特征是在其傳播過程中伴隨有能量集聚，且孤立子間相互作用時(shí)表現(xiàn)出猶如粒子彈性碰撞一樣的行為。這些特性已在流體力學(xué)、等離子體、光纖通訊等技術(shù)領(lǐng)

3、域獲得廣泛應(yīng)用。 固體力學(xué)在線性波的研究方面曾取得過輝煌的成就，為推動(dòng)物理學(xué)中波動(dòng)理論的發(fā)展做出過巨大貢獻(xiàn)。近年來固體結(jié)構(gòu)中非線性波的研究已開始受到關(guān)注。本文在綜述了其它非線性物理領(lǐng)域孤立子理論的研究基礎(chǔ)上，以彈性細(xì)桿波導(dǎo)為對(duì)象，考慮了固體結(jié)構(gòu)中常出現(xiàn)的非線性源及粘性耗散效應(yīng)、幾何彌散性質(zhì)等，研究了固體中幾類非線性波的傳播問題，取得了以下一些主要結(jié)果： 1.利用Hamilton變分原理，導(dǎo)出了計(jì)及有限變形和橫向剪切及橫向

4、慣性效應(yīng)的彈性細(xì)桿波導(dǎo)中的雙非線性雙彌散的縱向波動(dòng)方程，給出了橫向剪切、橫向慣性這兩種效應(yīng)共同作用下的彌散關(guān)系并與初等理論、Pochhammer精確理論、Rayleigh-Love修正理論的彌散關(guān)系進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，本文所得到的彌散關(guān)系曲線更接近于精確理論下基本模態(tài)的分支。利用Jacobi橢圓函數(shù)的有限展開法，得到該方程(三次非線性)及相應(yīng)的截?cái)喾匠?二次非線性)的精確周期解，在極限條件下雙非線性雙彌散縱向波動(dòng)方程的三個(gè)周期解分別退

5、化為沖擊波解和孤立波解。而非線性相對(duì)較弱的截?cái)喾匠虅t退化為相同的孤立波解而無沖擊波解。通過tanh函數(shù)有限展開等方法得到了它們的另外幾組孤波解。 2.計(jì)及Cox本構(gòu)關(guān)系的三次非線性和橫向剪切及橫向慣性效應(yīng)的耦合，導(dǎo)出了彈性細(xì)桿波導(dǎo)中的一種非線性縱波演化方程。給出了該波動(dòng)方程的遠(yuǎn)場方程，利用G-M變換將縱波方程簡化為經(jīng)典的KdV方程，利用Hirota方法給出了它的單孤波解以及雙孤波解，分析表明應(yīng)變孤波產(chǎn)生于桿件的物理非線性和幾何彌

6、散兩種效應(yīng)的相互平衡。并定量地描述了孤波對(duì)于固體結(jié)構(gòu)的影響。通過相平面分析法對(duì)彈性細(xì)桿波導(dǎo)中的兩種非線性縱波方程進(jìn)行了定性分析，結(jié)果表明，當(dāng)行波波速大于剪切波速度時(shí)，可能出現(xiàn)孤立波解，反之，則可能出現(xiàn)沖擊波解。 3.考慮了結(jié)構(gòu)的有限變形引起的非線性效應(yīng)、粘性耗散和幾何彌散效應(yīng)的耦合，建立了彈性細(xì)桿波導(dǎo)中的另一個(gè)幾何非線性縱波的波動(dòng)方程，用特征線法得到它的特征線和特征線上的相容關(guān)系，分析了粘性耗散和幾何彌散效應(yīng)對(duì)波的傳播速度的影響

7、。利用奇異攝動(dòng)理論中的多尺度變換法對(duì)導(dǎo)出的幾何非線性演化方程進(jìn)行簡化，得到了經(jīng)典的KdV-Burgers方程。當(dāng)忽略粘性耗散效應(yīng)時(shí)，幾何非線性演化方程可簡化為KdV方程；當(dāng)忽略橫向慣性效應(yīng)時(shí)，它可簡化為Burgers方程。并給出了Burgers、KdV、KdV-Burgers三種方程相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解分別為激波解、孤波解和振蕩孤波解或激波解。在相平面上對(duì)這三種非線性方程進(jìn)行了定性分析。結(jié)果表明，Burgers方程在相平面上有相應(yīng)于激波解的異宿

8、軌道；KdV方程有相應(yīng)于孤波解的同宿軌道；KdV-Buegers方程有相應(yīng)于振蕩孤波解的鞍-焦異宿軌道和相應(yīng)于激波解的鞍-結(jié)異宿軌道。 4.考慮了梁的大撓度引起的幾何非線性效應(yīng)和梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性導(dǎo)致的彌散效應(yīng)，利用變分法建立了梁中非線性彎曲波的波動(dòng)方程。利用Jacobi橢圓函數(shù)的有限展開法，得到了非線性彎曲波動(dòng)方程的三個(gè)精確周期解。在極限條件下這些周期解分別退化為沖擊波解和孤波解。對(duì)導(dǎo)出的非線性彎曲波動(dòng)方程在相平面上進(jìn)行了定性分析，

9、結(jié)果表明，非線性彎曲波動(dòng)方程在相平面上存在同宿軌道和異宿軌道，分別相應(yīng)于方程的孤波解和沖擊波解。利用約化攝動(dòng)法從非線性彎曲波動(dòng)方程中導(dǎo)出了非線性Schr(o)dinger方程，從理論上證明了考慮梁的大撓度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性時(shí)梁中存在包絡(luò)孤立波，并給出了該系統(tǒng)中可能存在亮孤子或暗孤子的條件。 5.對(duì)于非圓截面的彈性細(xì)桿波導(dǎo)，計(jì)及有限扭轉(zhuǎn)變形引起的扭矩-轉(zhuǎn)角非線性關(guān)系和非圓截面的翹曲運(yùn)動(dòng)引起的彌散效應(yīng)，導(dǎo)出了非圓截面彈性桿扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的非線性彌