非線性偏微分方程精確解與孤波相互作用問題的研究.pdf

1、本篇論文以非線性偏微分方程理論為基礎(chǔ)，結(jié)合計算機符號計算，完成了以下四個方面的工作：一、通過對耦合Schro dinger-KdV方程組的Painlev6性質(zhì)的分析，證明該方程組具有Painlevé性質(zhì)；二、利用Painlevé截斷展開式，求得了Caudrey-Dodd-Gibbon-Kaeada方程以及耦合Schr6dinger-KdV方程組的Hirota雙線性形式，其中CDGK方程用三種方法求得其雙線性形式，并得到了一致的結(jié)果。隨后

2、利用Hirota雙線性方法，求出了這兩個方程的單孤子解和雙孤子解；三、運用馮兆生提出的首次積分法，討論了Burgers-BBM，Burgers-Fisher和廣義Burgers-Fisher方程，求出了這些方程許多新的精確解；四、一般地，可積模型的孤波解之間的相互作用認(rèn)為是完全彈性碰撞。然而，對于某些模型，當(dāng)它的波速和波相滿足一定條件時，其相互作用是完全非彈性的，本文討論了一種較為獨特的完全非彈性碰撞現(xiàn)象一孤波匯合現(xiàn)象，以Chaffee

3、-Infante(CI)方程為例對這類現(xiàn)象進(jìn)行了分析。 非線性科學(xué)是繼量子力學(xué)、相對論之后，20世紀(jì)自然科學(xué)的重大發(fā)展。愛因斯坦曾指出：“由于物理學(xué)的基本方程都是非線性的，因此所有的數(shù)學(xué)物理都必須從頭研究”。到目前為止，非線性科學(xué)已經(jīng)迅速發(fā)展成為眾多學(xué)科的前沿課題之一。在1978年，Ablowitz和Segur發(fā)現(xiàn)，對于可以用反散射方法求解的非線性發(fā)展方程來說，其精確約化所得到的常微分方程(ODE)都具有Painlevé性質(zhì)，因

4、此他們給出一個猜想一Painlevé猜想：一個完全可積的偏微分方程經(jīng)過相似約化得到的常微分方程都是Painlevé型的。這個猜想提供了一個證明偏微分方程(PDE)是否完全可積的必要條件。1983年，Weiss，Tabor和Camevale引入了偏微分方程的Painlevé性質(zhì)的概念和Painlev éPDE檢驗，從而使得對PDE是否具有Painlevé性質(zhì)的判斷更加便利與簡潔。 耦合Schro dinger-KdV(CSK)方程

5、是一個(1+1)維的非線性發(fā)展方程組，本論文第二章運用WTC方法，驗證了CSK方程具有Painlevé性質(zhì)。在第三章中，利用第二章得到的結(jié)果，結(jié)合Hirota雙線性法求出了該方程的單孤子與雙孤子解。在第三章中給出三種求CDGK方程的Hirota雙線性形式的方法，它們分別是：有理變換法、“階平衡”方法與Painlevé截斷展開法。在得出方程的Hirota雙線性形式之后，再利用Hirota方法得到了CDGK方程的單孤子解和雙孤子解。

6、 2002年，馮兆生介紹了一種新的求非線性發(fā)展方程精確解的方法一首次積分法。實踐證明這是一種有效的方法。其基本思想是：對于一個非線性偏微分方程，首先通過行波變換，將這個偏微分方程化成為一個常微分方程，再對這個常微分方程(ODE)作一個變換，使其等價于一個一階的常微分方程組。馮兆生提出的首次積分法最重要的一點就是他利用除法定理來尋求這個常微分方程組的首次積分，然后由這些首次積分求出所求PDE的精確解。本文利用該方法求解了Burgers-B

7、BM、Burgers-Fisher(BF)和廣義Burgers-Fisher(GBF)三個方程，并分別得到了它們的一些新的精確解。這些結(jié)論尚末有其它作者發(fā)表。 最后，本文討論了孤立波的相互作用問題。一般而言，能用反散射法，Hirota雙線性法等方法求出的非線性發(fā)展方程的孤立波解之間的相互作用大都是完全彈性碰撞。然而，對于某些PDE模型，當(dāng)波速和波向滿足某一特殊條件時，它們的相互作用卻是完全非彈性碰撞。例如，在某一時刻，單孤子可能