非線性偏微分方程的概周期型粘性解.pdf

1、本文研究Hamilton-Jacobi方程的回復(fù)解，主要包括兩部分內(nèi)容：一部分是關(guān)于Hamilton-Jacobi方程的遙遠(yuǎn)概周期粘性解的存在性和唯一性，另一部分是關(guān)于二階非線性拋物型偏微分方程的周期、概周期和遙遠(yuǎn)概周期粘性解的存在性和唯一性。 Hamilton-Jacobi方程是流體力學(xué)、大氣動力學(xué)、海洋內(nèi)波動力學(xué)和光學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)模型之一。它在哈密頓動力學(xué)、最優(yōu)控制理論以及微分對策理論中也有非常重要的應(yīng)用。做為完全非線

2、性的偏微分方程，Hamilton-Jacobi方程的經(jīng)典光滑解不容易求出甚至不存在。許多應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展需要解決這個問題。上世紀(jì)八十年代初，Crandall、Evans和Lions等人打破了這個僵局，利用極值原理，創(chuàng)立了Hamilton-Jacobi方程的粘性解理論，極大地推進(jìn)了偏微分方程弱解理論的發(fā)展。粘性解理論是Lions獲得菲爾茲獎的重要內(nèi)容。八十年代后期，Crandall、Lions、Ishii和Jensen等人推廣了這一理論，建

3、立了二階Hamilton-Jacobi方程和橢圓型方程的粘性解理論。這一理論還在發(fā)展過程中，目前這方面的文獻(xiàn)已有數(shù)千篇之多。其中非常值得注意的一個動向是，這一理論與動力系統(tǒng)的Arnold擴(kuò)散和弱KAMN論有著深刻的聯(lián)系。 Bohr等人創(chuàng)立的概周期函數(shù)理論領(lǐng)域已經(jīng)得到很大的發(fā)展，產(chǎn)生了許多具有更廣泛意義的函數(shù)類，譬如概自守函數(shù)、漸近概周期函數(shù)、弱概周期函數(shù)，一致概周期函數(shù)等。到了上世紀(jì)八十年代Sarason提出了遙遠(yuǎn)概周期函數(shù)和

4、緩慢震蕩函數(shù)。九十年代初，張傳義提出了偽概周期函數(shù)。這些函數(shù)類的分析與代數(shù)性質(zhì)得到廣泛研究。它們在動力系統(tǒng)和微分方程定性理論中有著廣泛的應(yīng)用。 本文欲在上述兩個數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的交叉領(lǐng)域開展研究，主要研究Hamilton-Jacobi方程的概周期型粘性解的存在唯一性。我們應(yīng)用Perron方法和粘性解的比較定理，對Hamilton-Jacobi方程及二階非線性拋物型偏微分方程(二階Hamilton-Jacobi方程)的概周期和遙遠(yuǎn)概周

5、期粘性解的存在性和唯一性進(jìn)行了系統(tǒng)研究。 本文主要做了以下工作 第一，提出并證明了遙遠(yuǎn)概周期函數(shù)和緩慢震蕩函數(shù)的幾個性質(zhì)和引理。 第二，對Hamilton-Jacobi方程，證明了其遙遠(yuǎn)概周期粘性解的存在性和唯一性，并證明了該方程的高頻率的遙遠(yuǎn)概周期粘性解的漸近行為。 第三，推廣了已有的Hamilton-Jacobi方程粘性解的比較定理，得到適用于有界區(qū)域上帶有Dirichlet邊界條件的Hamilton