相依變量的若干極限定理.pdf

1、全文分三章： 第一章，行內(nèi)NA組列的一個完全收斂定理 自1947年Hsu和Robbins引進(jìn)完全收斂性的概念以來，已有不少學(xué)者研究獨(dú)立隨機(jī)變量這方面的性質(zhì).Hu等人在1998年給出了關(guān)于獨(dú)立組列的一個完全收斂定理(該定理不要求同分布條件).之后有人對定理的條件作了探討，做了一些相應(yīng)的文章，但都限于獨(dú)立的形式.本章把其中一些結(jié)論推廣到行內(nèi)為NA的情形，得到了如下幾個定理： 定理1.1.1設(shè){Xnk，1≤k≤kn，n

2、≥1}是一個行內(nèi)NA的組列，{cn，n≥1}是一個正的常數(shù)序列，滿足∑n=1∞cn=∞.如果對于任意的ε＞0和某個δ＞0，下列條件成立： (i)∑n=1∞cn∑k=1knP{|Xnk|＞ε}＜∞，(ii)存在J≥2，使得∑n=1∞cn(∑k=1knEXnk2I{|Xnk|≤δ})J＜∞，(iii)當(dāng)n→∞時，max1≤≤m≤kn|med(∑k=1mXnkI{|Xnk|≤δ})|→0.那么，對于任意的ε＞0，有∑n=1∞cnP{m

3、ax1≤m≤kn|∑k=1mXnk|＞ε}＜∞. 定理1.1.2設(shè){Xnk，1≤k≤kn，n≥1}是一個行內(nèi)NA的組列(如果kn=∞，本文假設(shè)級數(shù)∑k=1∞Xnk幾乎處處收斂)，其中{kn，n≥1}(){1，2，...}∪{∞}.{cn，n≥1}是一個正的常數(shù)序列，滿足∑n=1∞cn=∞.如果對于任意的ε＞0和某個δ＞0，定理1.1.1中條件(i)，(ii)仍然成立，條件(iii)改為(iii)’當(dāng)n→∞時，max1≤m≤kn|

4、∑k=1mEXnkI{|Xnk|≤δ}|→0，那么，對于任意的ε＞0，有∑n=1∞cnP{max1≤m≤kn|∑k=1mXnk|＞ε}＜∞.但是定理1.1.2的條件(ii)和(iii)’比較難以驗(yàn)證.對于均值為零的NA組列，有如下結(jié)果. 定理1.1.3設(shè){Xnk，1≤k≤kn，n≥1}是一個行內(nèi)NA的均值為零的組列(如果kn=∞，本文假設(shè)級數(shù)∑k=1∞Xnk幾乎處處收斂)，其中{kn，n≥1}(){1，2，...}∪{∞}.{c

5、n，n≥1}如同定理1.1.1，ψ(x)是一個實(shí)函數(shù)，對某些δ＞0，supx＞δx/ψ(x)＜∞，sup0≤x≤δx2/ψ(x)＜∞. 如果下列條件成立：(Ⅰ)∑n=1∞cn∑k=1knP{|Xnk|＞ε}＜∞，(Ⅱ)存在J≥2，使得∑n=1∞cn(∑k=1knE(ψ|Xnk|))J＜∞，(Ⅲ)當(dāng)n→∞時，max1≤m≤kn|∑k=1knEψ(|Xnk|)|→0.那么，對于任意的ε＞0，有∑n=1∞cnP{max1≤m≤kn|∑

6、k=1mXnk|＞ε}＜∞. 第二章，PA序列對數(shù)律的幾個極限定理 自從Esaryetal.引入介紹了正相伴隨機(jī)變量的概念以來，許多學(xué)者在這方面作了研究，并得到了很多有趣的結(jié)果和應(yīng)用.1947年Hsu和Robbins引進(jìn)完全收斂性的概念，它為研究大數(shù)律尾概率級數(shù)的收斂性開創(chuàng)了先例.之后，從完全收斂性延伸出一個稱之為精確漸近性的方向.一些學(xué)者研究了NA序列對數(shù)律的精確結(jié)果，本章考慮PA情形，證明了若干相應(yīng)的定理.

7、定理2.1.1設(shè)an=O(1/logn).對任何b＞-1，有(limε→0)ε2(b+1)(∞∑n=1)(logn)b/nP(Mn≥(ε+an)σ√nlogn)=2μ2(b+1)/b+1(∞∑k=0)(-1)k/(2k+1)2(b+1)和(limε→0)ε2(b+1)(∞∑n=1)(logn)b/nP(|Sn≥(ε+an)σ√nlogn)μ2(b+1)/b+1， 其中，μ2(b+1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的2(b+1)階矩.定理2.1.

8、2對任何b＞-1，我們有(limε→∞)ε-2(b+1)(∞∑n=1)(logn)b/nP(Mn≤(εσ√π2n/8logn)=4/πΓ(b+1)(∞∑k=0)(-1)k/(2k+1)2b+3. 定理2.1.3設(shè)an=O(1/logn).對任何b＞-1，在a.s.意義和L2意義下，有(limε→0)ε2(b+1)(∞∑n=1)(logn)b/nI(|Sn|≥(ε+an)σ√nlogn)=μ2(b+1)/b+1，即(limε→0)

9、ε2(b+1)(∑n∈()(ε)(logn)b/n=2μ2(b+1)/b+1a.s.和L2意義下，其中，μ2(b+1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的2(b+1)階矩，()(ε)={n：|Sn|≥(ε+an)σ√nlogn}. 第三章，ψ混合三角列部分和乘積的漸近對數(shù)正態(tài)性 1998年，Arnold和Villase(n)or得到了均值為l的i.i.d指數(shù)隨機(jī)變量部分和乘積的漸近性質(zhì).2002年，Rempala和Wesolowski將它推

10、廣到了正的平方可積i.i.d的情形.隨后，祁永成等人在這方面繼續(xù)作了一些工作，將它延伸到分布屬于穩(wěn)定吸引域的情形.2005年，Rempala和Wesolowski又給出了i.i.d正的平方可積隨機(jī)變量三角列部分和乘積的漸近性質(zhì).本章的主要目的是將2005年的結(jié)果推廣到行內(nèi)為ψ混合，行間獨(dú)立的情形：設(shè){Xn'，n≥1}為正的平方可積的ψ混合序列，滿足μ=EX1'＞0，E|X1'|p＜∞(p＞2)，∑i=1∞ψ1/2(2i)＜∞.記Tn=∑

11、i=1n(Xi'-u)，σn2=ETn2.當(dāng)n→∞時，σn2=ETn2→∞.定理3.1.1設(shè)(Xk，i)i=1,2…，k，k=1，2，…是滿足如下條件的三角列，它的每一行(Xk1，Xk2，…，Xkk)是(X1'，X2'，…，Xk')的獨(dú)立復(fù)制，但是，它的行與行之間獨(dú)立.記Sk=Xk，1+Xk，2+…+Xk，k，γk2=1/u2Var(Sk-μk)/k，γ2=1/u2limk→∞Var(Sk-μk)/k.那么，當(dāng)n→∞時，[e∑k=1nγ