Banach空間中一類四階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解及其應(yīng)用.pdf

1、對(duì)于數(shù)學(xué)，物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)，醫(yī)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，控制論等科學(xué)領(lǐng)域中出現(xiàn)的各種非線性問(wèn)題，已日益引起人們的廣泛重視.目前，非線性泛函分析已成為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支學(xué)科，它為研究各種非線性問(wèn)題提供了有效的理論工具，它主要包括半序方法，拓?fù)涠确椒?，變分方法和解析方法等?nèi)容，它在處理應(yīng)用學(xué)科中提出來(lái)的各種非線性方程和偏微分方程問(wèn)題中發(fā)揮著不可替代的作用.有關(guān)四階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性，正解的存在性和唯一性，這幾年得到了廣泛研究.但這些

2、文獻(xiàn)大多僅限于一般空間中討論，很少有文獻(xiàn)在Banach空間中討論四階微分方程解的存在性問(wèn)題. 本文主要在Banach空間中討論四階微分方程解的存在性. 本文共分二章. 第一章，主要討論Banach空間中一類四階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解的存在性. 考察Banach空間中四階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題{u(4)(t)=f(t，u(t)，u″(t))，t∈I,u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=θ.(1.

3、1)本章利用Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理得到了邊值問(wèn)題(1.1)解.我們首先給出幾個(gè)引理: 引理1設(shè)f∈C[I，E]，則兩點(diǎn)邊值問(wèn)題{-x″(t)=f(i)，t∈I，x(0)=x(1)=θ.(1.2)在C2[I，E]中有唯一解x(t)=∫10-G(t，s)f(s)ds，其中-G(t，s)={s(1-t)，0≤s≤t≤1，t(1-s)，0≤t≤s≤1， 引理2設(shè)f∈C[I×E×E,E]，定義算子A:(Ax)(t)=∫10G(t,s

4、)f(s，x(s)，x″(s))ds(1.5)其中G(t，s)=∫10-G(t，r)-G(r,s)ds={t(1-s)(2s-s2-t2)/6，0≤t≤s≤1,s(1-t)(2t-t2-s2)/6，0≤s≤t≤1，則x∈C4[I，E]是(1.1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈C2[I，E]是A的不動(dòng)點(diǎn) 引理3設(shè)f∈C[I×E×E,E]，假定對(duì)任何r＞0，f在I×Tr×Tr一致連續(xù)且有界，并且存在Cr≥0，C*r≥0，0≤Cr+C*r＜2使得α

5、(f(t，D1，D2))≤Crα(D1)+G*rα(D2)，(A)t∈I，D1，D2()Tr(1.15)則對(duì)任何r＞0，A：Br→C2[I，E]是一個(gè)嚴(yán)格集壓縮算子.即存在0≤Kr＜1，使對(duì)任何S()Br，有α2(A(S))≤Krα2(S) 我們要用以下條件: (H1)設(shè)f∈C[I×E×E]，假定對(duì)任何r＞0，f在I×Tr×Tr上一致連續(xù)且有界，并且存在Cr≥0，C*r≥0，0≤Cr+C*r＜2使得:α(f(t，D1，D

6、2))≤Crα(D1)+C*rα(D2)，(A)t∈I，D1，D2()Tr(H2)-limr→∞M(r)/r＜4，這里M(r)=sup{‖f(t，u，v)‖｜t∈I，u∈Tr，v∈Tr｝ 本節(jié)所得主要結(jié)論為: 定理1:若條件(H1)，(H2)滿足，則邊值問(wèn)題(1.1)至少有一個(gè)解x∈C4[I，E].作為應(yīng)用我們給出如下例子:例子:考察無(wú)窮常微分方程組:{u(4)n=3t/n(1-un+u1/3n+1-(u″2n)2/3)

7、，t∈I=[0,1]un(0)=un(1)=u″n(0)=u″n(1)=θ.(1.20)我們證該無(wú)窮常微分方程組在Tr中至少有一解. 第二章，作者在Banach空間中通過(guò)上下解方法，并利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究了四階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2.1)即(1.1)最大解和最小解的存在性問(wèn)題.首先給出以下幾個(gè)引理: 引理2.1(極大值原理)(參見(jiàn)文[6]定理3.1)假設(shè)Ω是Rn中有界開(kāi)集，設(shè)u∈C2(Ω)∩C(-Ω)，

8、且在Ω中△u≥0(≤0)，則max-u(x)=maxu(x)(minu(x)=minu(x)). 引理2.2(比較定理)若q∈C4[I，E]，滿足{g(4)(t)≥θ，t∈I，q(0)≥θ，g(1)≥θ，q″(0)≤θ，q″(1)≤θ，(2.2)則q(t)≥θ,(A)t∈I. 本章用到下列條件: (H1)存在v0，w0∈C4[I，E]，使v0(t)≤w0(t)，v″0(t)≥w″0(t)，(A)t∈I，并且v0，

9、w0分別是邊值問(wèn)題(2.1)的下解和上解，即:{v(4)0(t)≤f(t，v0(t)，v″0(t))，(A)t∈I，v0(0)≤θ，v0(1)≤θ，v″0(0)≥θ，v″0(1)≥θ，{w(4)0(t)≥f(t，w0(t)，w″0(t))，(A)t∈I，w0(0)≥θ，w0(1)≥θ，w″0(0)≤θ，w″0(1)≤θ.(H2)f(t，u，v)關(guān)于u，v的單調(diào)性條件為: 1)(A)v∈[w″0(t)，v″0(t)]，u1，u2∈

10、v0(t)，w0(t)]，當(dāng)u1≤u2時(shí)有:f(t，u1，v)≤f(t，u2，v)，(A)t∈I. 2)(A)u∈[v0(t)，w0(t)]，v1,v2∈[w″0(t)，v″0(t)]，當(dāng)v1≤v2時(shí)有:f(t，u，v1)≥f(t，u，v2)，(A)t∈I. 令[v0，w0]={u∈C2[I，E]｜v0(t)≤u(t)≤w0(t)，v″0(t)≥u"(t)≥w″0(t)，(A)t∈I}. 本節(jié)所得主要結(jié)論為:

11、 定理1設(shè)E為實(shí)Banach空間，P是E中的正則錐(參見(jiàn)文[1])，又設(shè)(H1)，(H2)滿足，則邊值問(wèn)題(1)在[v0，w0]∩C4[I，E]中具有最小解與最大解-v，-w(即若u∈[v0，w0]∩C4[I，E]是(1)的任一解，則必有-v(t)≤u(t)≤-w(t)，-v″(t)≥u″(t)≥-w″(t)，(A)t∈I)并且由下式確定的迭代序列｛vn(t)}，{wn(t)｝在I上分別一致收斂于-v(t)，-w(t)：vn(t)=

12、∫10G(t，s)f(s，vn-1(s)，v″n-1(s))ds，(A)t∈I，(n=1，2，3，...)，(2.4)wn(t)=∫-0G(t，s)f(s，wn-1(s)，w″n-1(s))ds，(A)t∈I，(n=1，2，3，...)，(2.5)作為應(yīng)用我們給出如下例子: 考察邊值問(wèn)題 {u(4)(t)=-u″(t)+(u(t)+1)2+sinπt-1，t∈i=[0，1]，u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=θ