幾類典型的隨機(jī)微分方程性質(zhì)及應(yīng)用.pdf

1、本文分三部分研究一些典型的隨機(jī)（偏）微分方程的性質(zhì)及其應(yīng)用。第一章主要研究一類特殊的擴(kuò)散過程-斜擴(kuò)散過程(Skew diffusion process)。斜擴(kuò)散過程是作為擴(kuò)散過程的一般化而出現(xiàn)的。自從K.It(o)和H.P.Mckean[1]首次提出斜擴(kuò)散過程以來，這類過程就迅速引起了很多學(xué)者的興趣。斜擴(kuò)散過程與我們一般意義上的擴(kuò)散過程不同之處就在于它增加了在某一點(diǎn)的對稱局部時。斜擴(kuò)散過程滿足如下的隨機(jī)微分方程;dXt=μ(Xt)dt+

2、σ(Xt)dWt+βd(L)Xt(α),其中α一般被稱為locus且.|β|≤1.正是由于對稱局部時項的存在，使得過程的樣本軌道變得很有意思。當(dāng)過程沒有觸碰到α點(diǎn)時，斜擴(kuò)散過程樣本軌道與一般意義上擴(kuò)散過程樣本軌道是相同的，一旦當(dāng)它觸碰到locusα點(diǎn)，斜擴(kuò)散過程將會以1+β/2的概率向上運(yùn)動，而以1+β/2的概率向下運(yùn)動。值得我們注意的是，如果β=0，那么它就退化成我們一般意義上的擴(kuò)散過程;而如果|β|=1，斜擴(kuò)散過程就變成了反射過程。

3、本章主要以斜O(jiān)U過程為例，研究斜擴(kuò)散過程的性質(zhì)及應(yīng)用。1.1節(jié)給出斜O(jiān)U過程的解的存在唯一性，轉(zhuǎn)移密度，首達(dá)時分布等過程本身的性質(zhì)，并且給出斜O(jiān)U過程在金融中的一些應(yīng)用。1.2節(jié)研究過程的占位時計算。占位時是隨機(jī)過程很重要的一個方面，但是關(guān)于過程的占位時很少有清晰的表達(dá)式。我們在這里主要是采用[2]的方法，清晰地給出了斜O(jiān)U過程在出[c，d]之前在區(qū)間[α，b]（c≤α≤b≤d）的占位時的Laplace變換。
　　在第二章，我們主

4、要是估計兩類常見的隨機(jī)（偏）微分方程中的參數(shù)。參數(shù)估計也是隨機(jī)微分方程中很重要的一個研究方向。我們在這章嘗試去估計一些典型的隨機(jī)微分方程的參數(shù)。在2.1節(jié)中，對金融信用風(fēng)險定價中常用的仿射點(diǎn)過程，我們給出了仿射點(diǎn)過程中的參數(shù)的極大似然估計。2.2節(jié)給出了分式噪聲驅(qū)動的拋物型隨機(jī)偏微分方程中參數(shù)的核估計。
　　第三章主要研究隨機(jī)偏微分方程的性質(zhì)。隨機(jī)偏微分方程是目前概率論學(xué)科中迅速發(fā)展的一個研究領(lǐng)域。與偏微分方程的分類一樣，隨機(jī)偏微

5、分方程可以分為拋物型，橢圓型，雙曲型。在3.1節(jié)中，我們首先研究一類常見的雙曲方程一波動方程。在Jiang等[3]已經(jīng)得到由補(bǔ)償泊松隨機(jī)測度驅(qū)動的波動方程的全局弱解和強(qiáng)解的基礎(chǔ)上，我們考慮了這類方程的長時間行為。我們得到，在一定的條件下，這類方程的解是指數(shù)穩(wěn)定的。在3.2節(jié)中，我們考慮帶反射項的拋物型隨機(jī)偏微分方程。我們知道，在很多實際情況中，驅(qū)動項為白噪聲是一種很理想的情況，有時候驅(qū)動項也是時間相依的，同時運(yùn)動軌跡也不是毫無限制，而是

6、有一定的邊界約束的。因此我們提出了研究分式噪聲驅(qū)動的帶有反射邊界的隨機(jī)偏微分方程。我們不僅得到了分式噪聲驅(qū)動的帶反射邊界的隨機(jī)熱方程的解的存在唯一性，而且還研究了這個方程的解的大偏差。在這章最后一節(jié)3.3，我們研究一類由Stepping-stone噪聲驅(qū)動的Cahn-Hilliard型隨機(jī)交互系統(tǒng)。Stepping-stone噪聲的存在使得擴(kuò)散項系數(shù)不是李普希茲的，這在處理上增加了很多困難。所以我們首先找到一個噪聲項系數(shù)是李普希茲的系統(tǒng)