橢圓型方程組在均勻化理論中的正則性研究.pdf

1、本文主要研究了一般橢圓算子在均勻化問題中的一致正則性和收斂速率的問題。本研究的進(jìn)展是基于下面的三個(gè)方面。其一，在上世紀(jì)80年代末，M. Avellaneda和林芳華發(fā)表了一系列的論文，系統(tǒng)的研究了只有主部項(xiàng)的二階橢圓算子帶Dirichlet邊值條件在均勻化問題中的一致Holder估計(jì)，Lp估計(jì)（1

2、上看，其算子系數(shù)依賴于參變量ε，用傳統(tǒng)的估計(jì)方法（擾動(dòng)方法），其估計(jì)式的常數(shù)依賴于主部系數(shù)的光滑性，也因此依賴于參變量ε。因此不能得到所謂的一致估計(jì)（這里所謂的一致估計(jì)就是指估計(jì)式中的常數(shù)不能依賴于ε）。但對于相應(yīng)的Neumann問題，其一致估計(jì)直到2013年才由C. Kenig、林芳華、申仲偉做出了突破性的進(jìn)展，他們的方法是先得到了Rellich估計(jì)（事實(shí)上比Lipschitz估計(jì)更難做），然后再用緊方法得到了最佳估計(jì)，即Lipsch

3、itz估計(jì)以及非切向極大函數(shù)的估計(jì)，這是其二。其三，在收斂速率方面的研究。近幾年，由T. Suslina等人利用Steklov光滑算子結(jié)合對偶方法，得到了光滑區(qū)域上的最佳收斂速率的結(jié)果。在非光滑區(qū)域上，主要的進(jìn)展可以在C. Kenig、林芳華、申仲偉的文章中找到。
　　基于以上文獻(xiàn)的成果，我們著力研究了橢圓算子（此處公式省略）在均勻化理論中的Dirichlet邊值問題以及Neumann邊值問題。我們得到了一系列的研究成果：W1,p

4、估計(jì)、Holder估計(jì)、Lipschitz估計(jì)、非切向極大函數(shù)估計(jì)（針對Dirichlet問題），以及在各種范數(shù)意義下收斂速率方面的結(jié)果。這里需要強(qiáng)調(diào)是，我們并非重復(fù)緊方法、以及最近由S. Armstrong和申仲偉所發(fā)展的新方法。而是充分利用只有主部項(xiàng)算子的研究成果，來給出相應(yīng)的估計(jì)，這里的變換是由Dirichlet邊界矯正子以及Neumann邊界矯正子充當(dāng)?shù)?，他們是所?gòu)造問題的解。這里使用了變換的思想，能在很大程度上，簡化問題的研究