橢圓型偏微分方程反問題的正則化理論及算法.pdf

1、眾所周知，橢圓型偏微分方程Cauchy問題在Hadamard意義下嚴(yán)重不適定，表現(xiàn)在Cauchy數(shù)據(jù)的微小擾動(dòng)可導(dǎo)致Cauchy問題解的巨大誤差.來源于科學(xué)和工程中的許多理論和應(yīng)用問題可歸結(jié)為橢圓型方程Cauchy問題，如工程無損探測，地球物理勘查，心臟病學(xué)等.Cauchy問題的不適定性給上述問題的研究帶來了很大困難，表現(xiàn)在難以構(gòu)造穩(wěn)定，高效的算法.一般來說，橢圓型方程Cauchy問題不具有穩(wěn)定性，但若對該問題的解作先驗(yàn)有界的假設(shè)，則可

2、獲得穩(wěn)定性估計(jì)，如H(o)lder穩(wěn)定性，對數(shù)穩(wěn)定性等.本文研究了三類橢圓型方程柯西問題：Laplace方程柯西問題，Helmholtz方程柯西問題和變系數(shù)橢圓方程柯西問題.分析了這些問題的不適定性本質(zhì)和不適定性程度，給出了幾種正則化方法.本文分為四部分.第一章簡要介紹了反問題的概念，反問題的數(shù)學(xué)特征以及正則化方法.第二章用線方法和譜方法求解了Laplace方程柯西問題，得到了穩(wěn)定的誤差估計(jì).第三章用擬逆方法和擬邊界值方法求解了Helm