關(guān)于兩類(lèi)非線(xiàn)性橢圓型偏微分方程解的研究.pdf

1、本文主要研究?jī)深?lèi)非線(xiàn)性橢圓偏微分方程的解.第一類(lèi)是奇異橢圓方程.這類(lèi)方程來(lái)自于對(duì)薄膜平衡狀態(tài)模型的刻畫(huà).我們得到了有初值條件時(shí)這類(lèi)奇異橢圓方程經(jīng)典徑向解的存在唯一性結(jié)果,與奇異(奇性發(fā)生在原點(diǎn))徑向解的存在性結(jié)果.還研究了這些徑向解的振蕩性及其在無(wú)限遠(yuǎn)處的極限情形.其中奇異徑向解的研究對(duì)于涂料工業(yè)具有重要的意義.第二類(lèi)是在二維空間中的有界區(qū)域內(nèi)帶有Neumann邊界條件的.Allen-Cahn方程.我們研究了其內(nèi)部層解.
　　

2、第一章,簡(jiǎn)單介紹了所研究問(wèn)題的背景及本文的主要結(jié)果.也交代了文中需要用到的一些概念與基本定理,還包含有全文的結(jié)構(gòu)安排.
　　 第二章,我們研究奇異橢圓方程
　　 △u(x)=1/αu-α(x)-p(r)x∈RN(N≥3),的經(jīng)典徑向解,其中r=｜x｜.由于該方程的非線(xiàn)性項(xiàng)含有負(fù)指數(shù)冪,我們需要謹(jǐn)慎討論該問(wèn)題的“解”.我們先給出該方程解的定義.若一非負(fù)連續(xù)函數(shù)u≠0且在開(kāi)集{x∈RN,u(x)>0}中滿(mǎn)足方程,則我們稱(chēng)u為

3、該方程的解.我們?cè)诒菊碌玫搅?對(duì)任意的η>0,該問(wèn)題存在唯一的經(jīng)典徑向解u(r)滿(mǎn)足u(0)=η,且解u(r)有振蕩性質(zhì)與極限結(jié)果.在考慮極限情形時(shí),我們根據(jù)解u(r)的三種可能情形進(jìn)行討論,并得到了解在三種情形中都有相同的極限結(jié)果.
　　 第三章,我們首先得到奇異解在原點(diǎn)處的增長(zhǎng)率結(jié)果.然后通過(guò)壓縮映照原理證明了前面奇異橢圓問(wèn)題奇異徑向解的存在性.奇異徑向解的振蕩性質(zhì)與極限結(jié)果可用類(lèi)似第二章的方法得到.
　　 第四章,

4、我們研究如下帶有Neumann邊界條件的非齊次Allen-Cahn方程的內(nèi)部層解
　　 ε2△u+V(y)u(1-u2)=0y∈Ω,
　　 ()u/()n=0y∈()Ω,其中Ω為R2中的有界光滑區(qū)域.我們用無(wú)限維Liapunov-Schmidt約化方法,得到了該問(wèn)題有兩個(gè)具有相反方向的內(nèi)部層解的結(jié)論.我們的重點(diǎn)是需要得到其中一個(gè)層解,另外一個(gè)則可對(duì)稱(chēng)的得到.本章中我們需要多次構(gòu)造問(wèn)題的近似解以逐步提高其精度,及反復(fù)用到不