求解非線性方程重根的迭代算法.pdf

1、求解非線性方程的根在數(shù)值分析中很重要，它廣泛應(yīng)用于工程和其它應(yīng)用領(lǐng)域的科學計算中。迭代算法是求方程根的眾多方法中應(yīng)用得最為廣泛的一類方法，它從某個初始點出發(fā)，由迭代格式生成一組收斂于方程根的序列。眾所周知，利用目標函數(shù)f(x)的高階導數(shù)信息可以更加方便地構(gòu)造出高階收斂的迭代格式。然而，在很多情況下計算高階導數(shù)是很費計算時間的，甚至是不可能的。因此，這類方法在實際應(yīng)用中受到很多限制。
　　對于求解方程的單根，目前已經(jīng)有了相當多的高階

2、迭代方法，相應(yīng)的構(gòu)造技術(shù)手段也比較豐富和成熟。然而，這些技術(shù)手段一旦用來構(gòu)造求解重根的迭代算法時，就顯得是相當?shù)膹碗s甚至無效。另一方面，大量的理論和數(shù)值實驗都表明，求解單根的高階迭代算法如果不加修正地直接用來求解方程的重根，其收斂階數(shù)將大為降低（通常只有一階）。一個簡單明了的例子就是經(jīng)典的牛頓迭代法。它二階收斂于方程的單根，但只能線性收斂于方程的重根，收斂速度變慢。因此，如何構(gòu)造出求解方程重根的高階，尤其最優(yōu)階的迭代格式是一項具有挑戰(zhàn)性

3、的工作。到目前為止，這方面的成果還不是很豐富。目前絕大多數(shù)求解重根的最優(yōu)階迭代算法在構(gòu)造過程中，都利用了方程重根的重數(shù)信息。另外，對單根的情形，有許多工作是討論方法的收斂半徑問題。然而對重根的情形，相應(yīng)的工作卻少之又少。
　　這篇論文主要研究求解非線性方程重根的迭代算法。
　　我們首先給出了一類最優(yōu)的、四階收斂的迭代格式，該類迭代格式幾乎包含了所有已知的最優(yōu)階迭代算法。通過對求解單根的多步迭代算法的觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)，它們的

4、共同點是第一步都借助牛頓迭代法或其它具有二階收斂速度的迭代格式。然而，這種預迭代方法似乎在構(gòu)造求解重根的迭代算法時并沒有充分利用起來。因此，我們嘗試給出兩類校正步為修正牛頓迭代步的迭代算法。此外，我們還給出了兩個不需要知道根的重數(shù)的迭代算法。而且，它們也不需要計算目標函數(shù)的導數(shù)以及“精挑細選”地選取初始值。盡管這兩種方法的收斂階并非最優(yōu)，但它們的優(yōu)勢是不言而喻的。
　　對迭代算法而言，收斂半徑的問題是至關(guān)重要。對于求解重根的迭代算

5、法而言，這方面的工作很少。直到最近，Ren和Argyros基于高階差分和多重積分，給出了修正的牛頓迭代法的收斂半徑估計。我們首先利用他們的方法，估算出Osada迭代算法的收斂半徑。進一步，我們提出了一種基于帶有積分余項的Taylor展開式的方法，改進了上述收斂半徑。這種方法相比于Ren和Argyros給出的方法簡單而有效。因此，我們又重新估算了修正牛頓迭代法的收斂半徑，同樣得到了更好的結(jié)果。
　　本文的最后一部分在復平面區(qū)域上，討