求解非線性方程重根的迭代算法.pdf

1、求解非線性方程的根在數(shù)值分析中很重要，它廣泛應(yīng)用于工程和其它應(yīng)用領(lǐng)域的科學(xué)計(jì)算中。迭代算法是求方程根的眾多方法中應(yīng)用得最為廣泛的一類方法，它從某個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)，由迭代格式生成一組收斂于方程根的序列。眾所周知，利用目標(biāo)函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)信息可以更加方便地構(gòu)造出高階收斂的迭代格式。然而，在很多情況下計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)是很費(fèi)計(jì)算時(shí)間的，甚至是不可能的。因此，這類方法在實(shí)際應(yīng)用中受到很多限制。
　　對(duì)于求解方程的單根，目前已經(jīng)有了相當(dāng)多的高階

2、迭代方法，相應(yīng)的構(gòu)造技術(shù)手段也比較豐富和成熟。然而，這些技術(shù)手段一旦用來(lái)構(gòu)造求解重根的迭代算法時(shí)，就顯得是相當(dāng)?shù)膹?fù)雜甚至無(wú)效。另一方面，大量的理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)都表明，求解單根的高階迭代算法如果不加修正地直接用來(lái)求解方程的重根，其收斂階數(shù)將大為降低（通常只有一階）。一個(gè)簡(jiǎn)單明了的例子就是經(jīng)典的牛頓迭代法。它二階收斂于方程的單根，但只能線性收斂于方程的重根，收斂速度變慢。因此，如何構(gòu)造出求解方程重根的高階，尤其最優(yōu)階的迭代格式是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性

3、的工作。到目前為止，這方面的成果還不是很豐富。目前絕大多數(shù)求解重根的最優(yōu)階迭代算法在構(gòu)造過(guò)程中，都利用了方程重根的重?cái)?shù)信息。另外，對(duì)單根的情形，有許多工作是討論方法的收斂半徑問(wèn)題。然而對(duì)重根的情形，相應(yīng)的工作卻少之又少。
　　這篇論文主要研究求解非線性方程重根的迭代算法。
　　我們首先給出了一類最優(yōu)的、四階收斂的迭代格式，該類迭代格式幾乎包含了所有已知的最優(yōu)階迭代算法。通過(guò)對(duì)求解單根的多步迭代算法的觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)，它們的

4、共同點(diǎn)是第一步都借助牛頓迭代法或其它具有二階收斂速度的迭代格式。然而，這種預(yù)迭代方法似乎在構(gòu)造求解重根的迭代算法時(shí)并沒(méi)有充分利用起來(lái)。因此，我們嘗試給出兩類校正步為修正牛頓迭代步的迭代算法。此外，我們還給出了兩個(gè)不需要知道根的重?cái)?shù)的迭代算法。而且，它們也不需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及“精挑細(xì)選”地選取初始值。盡管這兩種方法的收斂階并非最優(yōu)，但它們的優(yōu)勢(shì)是不言而喻的。
　　對(duì)迭代算法而言，收斂半徑的問(wèn)題是至關(guān)重要。對(duì)于求解重根的迭代算

5、法而言，這方面的工作很少。直到最近，Ren和Argyros基于高階差分和多重積分，給出了修正的牛頓迭代法的收斂半徑估計(jì)。我們首先利用他們的方法，估算出Osada迭代算法的收斂半徑。進(jìn)一步，我們提出了一種基于帶有積分余項(xiàng)的Taylor展開式的方法，改進(jìn)了上述收斂半徑。這種方法相比于Ren和Argyros給出的方法簡(jiǎn)單而有效。因此，我們又重新估算了修正牛頓迭代法的收斂半徑，同樣得到了更好的結(jié)果。
　　本文的最后一部分在復(fù)平面區(qū)域上，討