非線性方程求解的若干研究.pdf

1、本文主要研究了非線性方程求解中的一些問(wèn)題，研究主要針對(duì)以下幾個(gè)方面，這幾個(gè)方面恰恰是研究非線性方程求解問(wèn)題中非常重要的領(lǐng)域．一是在給定的一定量信息的情況下構(gòu)造具有最大收斂階迭代法；二是在一定理論框架下研究迭代法的半局部收斂性；三是研究迭代法對(duì)多項(xiàng)式的整體行為．
　　 在研究迭代法的構(gòu)造時(shí)，每一迭代步所用到的信息是一個(gè)很重要的關(guān)鍵，信息通常由前面一些迭代近似點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值給定．我們先對(duì)信息加以篩選，給出了標(biāo)準(zhǔn)信息的定義N(x

2、snn，xsn—1n—1，…，xsn—1n—1；f)={f(k)(xj)：k=0，…，sj—1，j=n—l，…，n)．考慮到信息的獲取是要付出一定的代價(jià)的，因而我們這里用到的信息是N(xsn，…，xsn—l=1，x(s)n—1；f)．qd商差表法是一種基于Padé有理逼近的求根方法，對(duì)于給定的標(biāo)準(zhǔn)信息，我們將Padé有理逼近進(jìn)行了推廣，得到了基于標(biāo)準(zhǔn)信息的有理逼近，這些有理逼近對(duì)我們構(gòu)造迭代法很有幫助．
　　 最高效的方法就是擁

3、有最大收斂階的迭代法，我們給出了兩族具最大收斂階的迭代法Hp，s，f和Mp，s，f，它們分別是Halley迭代族以及Müller法的自然推廣，并且具有非常好的收斂性質(zhì)．其中g(shù)(·)=1/f(·)且0＜(s)≤s，t≥0．其中則若xi(i=—l，…，—1，0)與函數(shù)f的根z*足夠接近時(shí)，當(dāng)n→∞時(shí)，兩族迭代法產(chǎn)生的xn收斂到與X0最接近的函數(shù)f的根Z*，且它的收斂階是多項(xiàng)式的唯一正實(shí)根．
　　 上述兩族迭代法是基于標(biāo)準(zhǔn)信息N(xs

4、n，…xsn—l+1，x(s)n—1；f)的具最高收斂階的迭代法，我們利用代數(shù)組合學(xué)的基本工具Faàdi公式，部分Bell多項(xiàng)式以及對(duì)稱群循環(huán)指標(biāo)給出了Hp，s，f和Mp，s，f的顯示表達(dá)式．
　　 對(duì)迭代法性質(zhì)的研究最主要的是研究它的收斂性行為，在本文中我們給出了迭代族Hp，s，f的半局部收斂性定理．我們是在區(qū)域B(x0，r)上的算子類S(k)r(Ω)中研究半局部收斂性的，函數(shù)f屬于區(qū)域B(x0，r)上的算子類S(k)r(Ω)

5、是指對(duì)于k是正整數(shù)，設(shè)0＜r＜(t)，且f滿足其中Ω：[0，(t)]→[0，(s)]在區(qū)間[0，r]上存在k階單調(diào)遞增的連續(xù)導(dǎo)數(shù)．
　　 區(qū)域B(x0，r)上的算子類S(k)r(Ω)首先是由王興華提出的，王興華首先將Smale的解析條件弱化提出了弱條件，然后再進(jìn)一步地，提出了更加一般的區(qū)域B(x0，r)上的算子類S(k)r(Ω)，在這種算子類下，半局部收斂性仍存在普適常數(shù)b，
　　 b=(1+(Ω)(0))r0—1/rΩ

6、(γr0)+1/Ω(0)，而r0滿足
　　 (Ω)(γr0)=1+(Ω)(0)．只要函數(shù)f屬于區(qū)域B(x0，r)上的算子類S(k)r(Ω)，初始條件β=‖(f)(x0)—1f(x0)‖≤b，xi∈B(x0，r)，i=—1，…，—l，迭代法就收斂并且有相應(yīng)的誤差估計(jì)．這里得到的常數(shù)b同王興華已經(jīng)證明的對(duì)Halley族以及Euller族普遍適用的常數(shù)是相同的，從而推廣了普適常數(shù)的適用范圍．
　　 對(duì)大多數(shù)迭代法，例如Eule

7、r族和Halley族的迭代，當(dāng)f是多項(xiàng)式時(shí)都是有理迭代，從離散動(dòng)力系統(tǒng)的觀點(diǎn)看，關(guān)于迭代法整體行為的首要問(wèn)題是：是否存在一般收斂的單點(diǎn)定常迭代算法?McMullen在1987年否定地回答了這個(gè)問(wèn)題，證明了當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)大于3時(shí)，一般收斂的定常迭代法不存在．同時(shí)他也給出了一個(gè)對(duì)三次多項(xiàng)式一般收斂的有理迭代，設(shè)p(z)=z3+az+b，則
　　 Tp(z)=z—(z3+az+b)(3az2+9bz—a2)/3az4+18bz3—6a

8、2z2—6abz—9b2—a3．對(duì)三次多項(xiàng)式一般收斂．
　　 自然地，是否存在對(duì)次數(shù)小于等于3次的多項(xiàng)式一般收斂且能用來(lái)作為一般函數(shù)求根算子的有理算子呢?我們給出了滿足這樣條件的一個(gè)有理算子．為方便起見，設(shè)p(z)是一個(gè)第d—1次項(xiàng)系數(shù)為零的d次多項(xiàng)式，Tp(z)=z—p(z)(ap(z)(p)(z)—(d—1)((p)(z))2)/2(d—1)p(z)(p)(z)(p)(z)—d(p(z))2(p)(z)—(d—1)((p)(

9、z))3．則我們證明了迭代算子Tp對(duì)二次、三次多項(xiàng)式一般收斂，而且對(duì)次數(shù)d≥4的多項(xiàng)式是二階收斂的，對(duì)于非多項(xiàng)式函數(shù)d可以任意選取．進(jìn)一步地，我們可以固定d=3，這時(shí)不管p是多項(xiàng)式還是非多項(xiàng)式，Tp是三階收斂的．同時(shí)，迭代法Tp具有如下性質(zhì)：1．Tp(z)在復(fù)平面C上的不動(dòng)點(diǎn)是超吸引的或排斥的，也就是說(shuō)，p的所有單根
　　 是超吸引的，復(fù)平面C上的所有額外不動(dòng)點(diǎn)是排斥的．2．p的重?cái)?shù)為ni≥3的重根均為Tp(z)的排斥不動(dòng)點(diǎn)，且