孤立子方程的可積系統(tǒng)及非線性方程精確求解的若干研究.pdf

1、本文主要介紹孤立子方程的可積系統(tǒng)（即非線性演化方程族的生成及可積性質(zhì)和非線性演化方程族的擴展可積模型）和非線性方程的精確求解。
　　第一章概述了孤立子理論的產(chǎn)生和發(fā)展、研究概況及其研究意義。
　　在第二章中,首先利用外積的性質(zhì)構(gòu)造了一個3M維的loop代數(shù)GM,由此可設計出許多新的等譜問題,作為應用,本文得到了一個多分量可積的Boite-Pempinelli-Tu(BPT)族。其次,運用2+1維的零曲率方程和屠格式得到了一類

2、2+1維的多分量的可積系。作為一個實例,得到了一類廣義2+1維Kaup-Newell(KN)族。最后利用3維的Lie代數(shù)構(gòu)造出相應的loop代數(shù),由此建立一個廣義的等譜問題,運用屠格式直接獲得了多分量的KN方程族,作為約化情形分別得到了廣義Burgers方程和廣義耦合kdv方程。作為可積系統(tǒng)的進一步研究是可積耦合問題,即非線性演化方程族的一類擴展可積模型。
　　在第三章中,首先將第二章中的loop代數(shù)擴展為新的高維的loop代數(shù),

3、由此設計恰當?shù)牡茸V問題,利用屠格式求出了第二章方程族（2.3.7）中所得的可積系的相應的擴展可積模型。然后以已有的一個Lie代數(shù)的子代數(shù)為基礎,通過線性組合得到了一個5維的Lie代數(shù),然后構(gòu)造出相應的loop代數(shù),由此建立一個廣義的等譜問題,運用屠格式和零曲率方程獲得了第二章第四節(jié)中KN方程族的擴展可積系統(tǒng),給出了求可積耦合的一種簡便方法,這種方法可以普遍使用。
　　在第四章中,首先介紹了非線性方程求解的各種方法,然后重點介紹了齊