四階橢圓型方程若干有限元新方法和高效求解算法.pdf

1、四階橢圓型微分方程廣泛應(yīng)用于固體力學(xué)、材料科學(xué)和圖像處理諸領(lǐng)域,因此對它的數(shù)值解研究不但具有重要的理論意義也具有直接應(yīng)用價值.本文的主要工作是構(gòu)造了重調(diào)和方程的一種基于Poisson求解子的快速求解器；對四階橢圓偏微分方程的MWX元方法設(shè)計了兩網(wǎng)格局部和并行求解算法并進(jìn)行了誤差分析；將C0間斷有限元方法應(yīng)用于四階橢圓偏微分方程并給出求解由該方法離散得到的線性代數(shù)方程組的區(qū)域分解法:也提出了自適應(yīng)有限元方法的一個抽象框架.
　　

2、首先,構(gòu)造了重調(diào)和方程的一種基于Poisson求解子的快速求解器.通過位能極小原理,建立了重調(diào)和方程和Stokes方程之間的等價性,即重調(diào)和方程等價于一個Stokes方程和兩個Possion方程.類似地,在有限元離散情形,建立了重調(diào)和方程Morley元方法和Stokes方程非協(xié)調(diào)P1-P0元方法之間的等價性,即重調(diào)和方程Morley元方法等價于一個Stokes方程非協(xié)調(diào)P1-P0元方法和兩個Possion方程Morley元方法.然后基于

3、這個等價性,結(jié)合代數(shù)多重網(wǎng)格法,構(gòu)造了重調(diào)和方程的一種基于Poisson求解子的快速求解器.最后,用數(shù)值試驗驗證了這個求解器的有效性.
　　 其次,提出了三種用于求解任意空間維數(shù)的四階橢圓偏微分方程的兩重網(wǎng)格局部和并行的Morley-Wang-Xu(MWX)元方法.由于MWX元空間不是嵌套的,需要引進(jìn)一些網(wǎng)格轉(zhuǎn)移算子,以從全局的粗網(wǎng)格有限元解和局部的細(xì)網(wǎng)格修正來獲得改進(jìn)的全局有限元解.首先通過構(gòu)造基于修正Argyris元的網(wǎng)格轉(zhuǎn)

4、移算子,提出了求解MWX元離散的四階問題的三種局部和并行算法.然后,證明了相應(yīng)的數(shù)值解的離散能量誤差的階為O(h+H2),其中H和h分別為有限元單形剖分的粗細(xì)網(wǎng)格的網(wǎng)格大小.同時,構(gòu)造了基于算術(shù)平均網(wǎng)格轉(zhuǎn)移算子的局部和并行算法,證明了相應(yīng)的數(shù)值解的離散能量誤差的階為O(h+H2(H/h)(d-1)/2),其中d為求解區(qū)域的空間維數(shù).進(jìn)一步,我們提供了數(shù)值實驗來說明這些算法的計算效果.
　　 再次,提出了求解薄板彎曲問題的一類新的

5、C0間斷有限元方法,并給出了數(shù)值解在離散能量誤差和H1范數(shù)下的誤差估計.首先將四階偏微分方程寫成二階系統(tǒng)的形式,獲得了構(gòu)造求解原四階問題的C0間斷有限元方法的框架.然后,建立一個離散的穩(wěn)定性等式,并由此選擇可行的數(shù)值跡,得到求解薄板彎曲問題的一類穩(wěn)定的C0間斷有限元方法.根據(jù)二階橢圓問題間斷有限元方法誤差分析中的思想和推導(dǎo)技巧,我們得到了薄板彎曲問題LCDG方法數(shù)值解在離散能量范數(shù)和H1范數(shù)下的最優(yōu)階誤差估計以及CDG方法數(shù)值解在離散能

6、量范數(shù)和H1范數(shù)下的誤差估計.最后,用數(shù)值實驗驗證了理論的收斂階.
　　 接著,構(gòu)造了薄板彎曲問題的局部C0間斷有限元方法的兩水平加型Schwarz預(yù)條件子并估計了條件數(shù).對于我們提出的求解薄板彎曲問題的LCDG方法,通過定義特殊的網(wǎng)格轉(zhuǎn)移算子,給出了該方法的區(qū)域分解算法.進(jìn)一步估計了經(jīng)過預(yù)處理的線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣的條件數(shù),該上界估計在δ≈H時是最優(yōu)的.在小部分重疊情形,即δ《H時,利用更多的子區(qū)域的信息,改進(jìn)了條件數(shù)的上

7、界估計.
　　 然后,提出了基于標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)的自適應(yīng)有限元方法的抽象框架并得到了擬最優(yōu)收斂性和最優(yōu)復(fù)雜度.首先提出一些假設(shè),基于這些假設(shè)得到自適應(yīng)有限元方法的擬最優(yōu)收斂性.在作了進(jìn)一步的假設(shè)后,通過引進(jìn)總誤差,證明了自適應(yīng)有限元方法的最優(yōu)復(fù)雜度.最后通過前面提出的假設(shè),將這個抽象框架應(yīng)用于各種問題,包括一般二階橢圓偏微分方程的高階有限元方法,2m階橢圓偏微分方程的Morley型有限元方法,不定時諧Maxwell方程和H(div)方程

8、.
　　 最后,對于薄板彎曲問題κ=0,1時的混合有限元方法,驗證了自適應(yīng)有限元方法抽象框架中提出的假設(shè).利用Helmholtz分解,對所有的κ≥0,構(gòu)造了薄板彎曲問題的混合有限元方法(H-H-J方法)基于殘差的后驗誤差估計子并證明了估計子的可靠性.利用泡函數(shù)技巧分析了誤差估計子的有效性.而且根據(jù)力在內(nèi)邊上的跳躍可以被體積部分所控制的性質(zhì),改進(jìn)了誤差估計子.進(jìn)一步,獲得了離散的Helmoltz分解和離散的inf-sup條件,利用