超罰弱有限元方法求解二階橢圓問題.pdf

1、弱有限元(Weak Galerkin,簡稱WG)方法首先是由王軍平和葉秀等人提出利用弱函數(shù)和弱梯度來求解二階橢圓問題.弱函數(shù)空間的選取依賴于定義在網(wǎng)格單元的內(nèi)部和邊界上的多項(xiàng)式空間,這使得弱有限元方法在許多應(yīng)用上更加的靈活可靠.一般來說,間斷有限元(Discontinuous Galerkin)方法定義的跳躍來自分片單元內(nèi)部函數(shù)在單元邊界上函數(shù)值;弱有限元方法傳統(tǒng)做法是在單元邊界上定義單值函數(shù)，與內(nèi)部單元函數(shù)利用弱函數(shù)定義聯(lián)系.本文與之

2、區(qū)別在于,在單元邊界上定義雙值函數(shù),于是在同一個(gè)單元邊界上就自然產(chǎn)生兩個(gè)弱函數(shù)的差,稱之為弱跳躍.基于內(nèi)罰間斷Galerkin有限元的思想,對單元邊界上的弱跳躍加罰項(xiàng),就形成本文介紹的超罰弱有限元方法.
　　本文主要以具有光滑解的二階橢圓問題為例討論超罰弱有限元方法.文中首先給出了二階橢圓問題的數(shù)值格式,嚴(yán)格證明了在H1-范數(shù)和L2-范數(shù)意義下基于弱函數(shù)空間(Pk,Pk,RTk)(k≥0)的先驗(yàn)誤差估計(jì),并且給出相關(guān)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)

3、證理論結(jié)果.本文還給出另外一種同時(shí)帶有超罰項(xiàng)和穩(wěn)定項(xiàng)的WG方法,它基于弱函數(shù)空間(Pk,Pk,[Pk?1]2)(k≥1)或者(Pk,Pk?1,[Pk?1]2)(k≥1).該算法格式中網(wǎng)格剖分單元不再局限于單純形,而是可以擴(kuò)展到一般多邊形或多面體,并且理論和實(shí)驗(yàn)都表明,通過選取適當(dāng)?shù)牧P參數(shù)同樣可以達(dá)到最優(yōu)收斂階.從算法的格式和數(shù)值實(shí)現(xiàn)來看,它是弱有限元方法的一種自然拓廣,具有逼近函數(shù)簡單,網(wǎng)格生成靈活,并且其數(shù)值格式絕對穩(wěn)定,單元剛度矩陣