二階Hamilton系統(tǒng)與橢圓共振邊值問(wèn)題.pdf

1、本文綜合運(yùn)用變分方法，臨界點(diǎn)理論和隱函數(shù)理論等多種非線(xiàn)性分析方法研究了二階Hamilton系統(tǒng)的周期解和橢圓共振邊值問(wèn)題，獲得了一系列新的可解性條件和多重性結(jié)果.可解性條件包括次可加條件；次凸條件；局部強(qiáng)制條件；一類(lèi)新的Landesman-Lazer型條件和次線(xiàn)性條件.主要結(jié)果包括如下所述. 首先考慮二階Hamilton系統(tǒng)ü(t)=▽F(t，u(t))a.e.t∈[0，T]u(0)-u(T)=u(0)-u(T)=0(HS)其中

2、，T≥0，F(xiàn)：[0，T]×RN→R滿(mǎn)足條件(A)F(t，x)對(duì)每個(gè)x∈Rv關(guān)于t是可測(cè)的，對(duì)a.e.t∈[0，T]關(guān)于x是連續(xù)可微的，且存在a∈C(R+，R+)，b∈L1(0，T；R+)使得｜F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)，｜▽F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)對(duì)所有x∈RN和a.e.t∈[0，T]成立. 設(shè)α∈[0，1)，當(dāng)▽F是α-次線(xiàn)性的，即，存在f，g∈L1(0，T；R+)使得｜▽F(t，x)｜≤f(t)｜x｜α

3、+g(t)對(duì)所有x∈RN及a.e.t∈[0，T]成立時(shí)，若條件(A)成立且|x|-2α∫T0F(t，x)dt→+∞(或-∞)，當(dāng)|x|→∞，則問(wèn)題(HS)至少有一個(gè)解. 設(shè)F(t，x)是局部強(qiáng)制的，即，存在g0∈L1(0，T)和[0，T]的滿(mǎn)足meas(E)＞0的子集E使得F(t，x)≥90(t) 對(duì)所有x∈RN和a.e.t∈[0，T]成立，且當(dāng)|x|→∞時(shí)，F(xiàn)(t，x)對(duì)a.e.t∈E趨于+∞，若條件(A)成立，則問(wèn)題

4、(HS)至少有一個(gè)解.設(shè)F滿(mǎn)足條件(A)且當(dāng)|x|→∞時(shí)∫T0F(t，x)dt→+∞. 若存在γ≥1使得F(t，x)對(duì)a.e.t∈[0，T]關(guān)于x都是γ-次可加函數(shù)，即，F(xiàn)(t，x+y)≤γ(F(t，x)+F(t，y))，()x，y∈RN. 則問(wèn)題(HS)至少有一個(gè)解.再考慮半線(xiàn)性橢圓方程的Dirichlet邊值問(wèn)題-△u=λku+g(x，u)()x∈Ωu=0()x∈aΩ(D) 其中Ω()RN(N≥1)是有界光滑

5、區(qū)域，λk是特征值問(wèn)題-△u=λu()x∈Ω,u=0()x∈aΩ的第k個(gè)不同的特征值，g：-Ω×R→R是Carathéodory函數(shù).設(shè)gM(x)△=sup{｜g(x，t)｜｜t|≤M}∈Lq(Ω)對(duì)所有M＞0和某q≥1滿(mǎn)足1/q+1/p=1，且當(dāng)N≥3時(shí)，2＜p＜2N/N-2，當(dāng)N=1，2時(shí)，2＜p＜+∞成立.若存在r∈]1，2[，a∈L1(Ω)滿(mǎn)足a(x)≥0對(duì)a.e.x∈Ω和∫Ωa(x)dx＞0，及b∈Lp'(Ω)使得a(x)≤l

6、iminf|t|→∞g(x,t)t/|t|r≤limsup|t|→∞g(x,t)t/|t|r≤b(x)對(duì)a.e.x∈Ω一致地成立，其中1/p'+r/p=1，則問(wèn)題(D)在空間H01(Ω)中至少有一個(gè)解. 假定g∈C(R，R)使得0≤liminf|t|→∞g(t)/t≤limsup|t|→∞g(t)/t＜3 設(shè)h∈L1(0，π)滿(mǎn)足F(-∞)∫π0sinxdx＜∫π0h(x)sinxdx＜E(+∞)∫π0sinxdx其中F

7、(-∞)=limsupF(t),t→-∞F(t)，F(xiàn)-(+∞)=liminfF(t)和F(t)={2/t∫t0g(s)ds-g(t)t≠0g(0)t≠0則問(wèn)題-u"=u+g(u)-h(x)，u(0)=u(π)=0在H01(0，π)中至少有一個(gè)解. 最后我們考慮Neumann邊值問(wèn)題-△u=f(x，u)+εh(x)在Ω內(nèi)，au/an=0在aΩ上，(N)其中，Ω()RN(N≥1)是具有光滑邊界和單位外法向量n(x)的有界區(qū)域，au/

8、an=n(x).▽u.假定f：-Ω×R→R，f(x，t)對(duì)每個(gè)t∈R關(guān)于x是可測(cè)的，對(duì)a.e.x∈Ω關(guān)于t是連續(xù)可微的，且存在常數(shù)C1＞0和2＜p＜2*使得lf't(x，t)||≤C1(|t|p-2+1)對(duì)所有t∈R和a.e.x∈Ω成立，其中f'x(x，t)=af/at.設(shè)存在δ＞0和a，b∈L∞(Ω)使得a(x)≥μm，b(x)≤μm+1對(duì)a.e.x∈Ω，meas{x∈Ω｜a(x)＞μm}＞0，meas{x∈Ω|b(x)＜μm+1}＞