二階Hamilton系統(tǒng)同宿軌的存在性與多解性.pdf

1、在本文中,我們首先研究下面的二階Hamilton系統(tǒng):ü(t)-L(t)u(t)+▽W(xué)(t,u(t))=0,t∈(R).(0-1)
　　 我們做如下的假設(shè):(A1)L(t)和W(t,x)關(guān)于t是1-周期的;(A2)L(t)對于所有的t∈(R)一致正定;(W2)當(dāng)x→0時,▽W(xué)(t,x)|1|/|x|→0對所有t∈(R)成立;(W3)當(dāng)|x|→∞時,W(t,x)/|x|→(∞)對于t∈(R)成立;(W4)存在常數(shù)a0＞1,d1＞0

2、,d2＞0使得|▽W(xué)(t,x)|≤d1|x|a0+d2對所有t∈(R)和x∈(R)N成立;(W5)存在常數(shù)β≥a0,d3＞0,R1＞0使得(▽W(xué)(t,x),x)-2W(t,x)≥d3|x|β對所有的t∈(R)和|x|≥R1成立;(W'5)存在常數(shù)a＞a0-1,d4＞0,r1＞0使得(▽W(xué)(t,x),x)-2W(t,x)≥d4|x|a對所有的t∈(R)和|x|≥r1成立;(W6)(▽W(xué)(t,x),x)≥2W(t,x)≥0對所有t∈(R)和

3、x∈(R)N＼{0}立;(W'6)(▽W(xué)(t,x),x)＞2W(t,x)≥0對所有的t∈(R)和x∈(R)N＼{0}成立;(W7)存在有界集B(C)(R),其中int(B)≠(0),和常數(shù)μ＞2,θ＞μ/μ-2滿足(I)0＜μW(t,x)≤(▽W(xué)(t,x),x)對所有t∈B和x∈(R)N＼{0}成立;(ii)0≤2W(t,x)≤(▽W(xué)(t,x),x)≤1/θ(L(t)x,x)對所有t(∈)B和x∈(R)N成立;(W8)對任意0＜a＜b,

4、令Ca,b:=inf{(▽W(xué)(t,x),x)-2W(t,x)/|x|2,t∈(R),a＜|x|≤b},則Ca,b＞0;(W9)存在常數(shù)R2＞0,使得W(t,x)≥0對所有t∈(R),|x|≤R2成立;(W12)W(t,x)=W(t,-x)對所有t∈(R)和x∈(R)N成立;(L**)存在常數(shù)γ＞1使得meas(t∈(R)||t|-γL(t)(≥)M0IN)∞對所有M0＞0成立;(L1)對L(t)的最小特征值l(t)≡inf|x|=1(L

5、(t)x,x),存在常數(shù)γ＞1使得當(dāng)|t|→∞時有l(wèi)(t)|t|-γ→+∞;(L2)存在常數(shù)ξ＞0和(-r)＞0至少使得以下命題之一成立;(I)L∈C1((R),(R)N2),|L'(t)x|≤ξ|L(t)x|對所有|t|＞(-r)和x∈(R)N且|x|=1成立;(ii)L∈C2((R),(R)N2),((ξL(t)-L"(t))x,x)≥0對所有|t|＞(-r)和x∈(R)N且|x|=1成立,其中L'(t)=(d/dt)L(t),L"

6、(t)=(d2/dt2)L(t);(L3)存在常數(shù)l1≥0使得l(t):=inf|x|=1(L(t)x,x)≥-l1對所有t∈(R)成立.
　　 我們得到如下的結(jié)果:
　　 定理2.3假設(shè)L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))滿足條件(A1),(A2),(W2)-(W4),(W'5)和(W'6),那么系統(tǒng)(0-1)至少有一個非平凡的同宿軌解.
　　 定理2.5假設(shè)L∈C((R),(R)

7、N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))滿足條件(A2),(W2),(W7),那么系統(tǒng)(0-1)至少有一個非平凡的同宿軌解.
　　 定理2.7假設(shè)L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))滿足條件(L1),(L2),(W2)-(W4),(W'5),(W8)和(W9),那么系統(tǒng)(0-1)至少有一個非平凡的同宿軌解.
　　 定理3.2假設(shè)L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(

8、R))滿足條件(L**),(L3),(W2)-(W6),(W12),那么系統(tǒng)(0-1)存在無窮多的同宿軌解.
　　 接下來我們考慮下面的Schr(o)dinger方程:-△u+V(x)u=f(x,u),x∈(R)N.(0-2)
　　 我們的主要結(jié)果如下:
　　 定理4.1假設(shè)V∈C1((R)N,(R))和f∈C((R)N×(R).(R))滿足(D1)存在常數(shù)M≥0使得V(x)≥-M對所有x∈(R)N成立;

9、　　 (D2)對任意γ＞0和任意趨于無窮大的子列(xn)(C)(R)N有l(wèi)im inf n→∝ u∈μn∫(|▽u|2+V(x)u2)dx=+∞,其中μn={u∈H10(Bn)|||u||L2(Bn)=1}且Bn=B(xn,r)表示以xn為心,r為半徑的開球;
　　 (D3)當(dāng)|s|→(∞)時,f(x,s)/s→+∝關(guān)于x一致成立;
　　 (D4)存在θ≥1使得θ(～F)(x,s)≥(～F)(x,ts)對所有(x,s)

10、∈(R)N×(R)和t∈[0,1]成立,其中(～F)(x,s)=f(x,s)s-2F(x,s),F(x,s)=∫s0f(x,z)dz.
　　 另外,假設(shè)存在常數(shù)C和函數(shù)K∈L∞loc((R)N,(R)),其中K(x)≥C＞0對所有x∈(R)N成立,滿足以下條件:
　　 (D5)存在常數(shù)d6＞0,a1＞1,R3＞0使得K(x)≤d6(1+(max{0,V(x)})1/a1)對所有|x|≥R3成立;
　　 (D6)存

11、在常數(shù)d7＞0,1＜P＜a*使得|f(x,s)|≤d7K(x)(1+|s|p)對所有(x,s)∈(R)N×(R)成立,其中當(dāng)N≥3時a*=N+2/N-2-4/a(N-2),而當(dāng)N=1,2時a*=+∝;
　　 (D7)當(dāng)s→0時f(x,s)/K(x)=D(|s|)關(guān)于x一致成立.那么方程(0-2)至少有一個非平凡解.
　　 定理4.2假設(shè)V∈C1((R)N,(R))和f∈C((R)N×(R),(R))滿足(D1)-(D4)