二階非周期哈密頓系統(tǒng)同宿軌道研究.pdf

1、二階非周期哈密頓系統(tǒng)同宿軌道研究哈密頓系統(tǒng)理論是既經(jīng)典又現(xiàn)代的研究領(lǐng)域，可以從不同的角度進(jìn)行研究，變分方法便是其中之一。哈密頓系統(tǒng)是具有變分結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，求哈密頓系統(tǒng)的解可轉(zhuǎn)化為尋找其對(duì)應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)。正因于此，哈密頓系統(tǒng)研究與最近20多年來(lái)飛速發(fā)展的大范圍變分理論即臨界點(diǎn)理論相結(jié)合，取得了巨大的進(jìn)展.特別是在應(yīng)用變分方法尋找哈密頓系統(tǒng)的周期解、同宿軌道解、異宿軌道解和其它形式的軌道解方面，取得了許多非常深刻的結(jié)果。 本論文主要研

2、究非周期的位勢(shì)可變號(hào)的二階哈密頓系統(tǒng)ü(t)-L(t)u(t)+V'u(t，u)=0,-∞＜t＜+∞(HS2)的同宿軌道.這里u=(u1，u2，…un)，V(t，u)：R×Rm→R是一個(gè)符號(hào)可變的位勢(shì)函數(shù).假設(shè)L(t)和V(t，u)滿(mǎn)足(L1)L(t)∈C(R，Rm2)是一個(gè)m×m階對(duì)稱(chēng)正定矩陣，存在函數(shù)a(t)∈C(R，R)使得a(t)≥a0＞0，(L(t)u，u)≥a(t)|u|2，t∈R，u∈Rm.(L2)a(t)→+∞，|t|→

3、+∞.(V1)V∈C1(R×Rm，R),V(t，0)=0,V'u(t，u)=o(|u|)(|u|→0)，關(guān)于t∈R一致成立.(V2)存在常數(shù)μ＞2，1≤β＜2，r＞O,d1≥0使得|u·V'u(t，u)-μV(t,u)|≤d1|u|β，當(dāng)|x|≥r.(V3)存在函數(shù)V1(u)∈C(Rm，R)，使得|V(t，u)|+|V'u(t，u)|≤|V1(u)|，t∈R，u∈Rm.在假設(shè)(V1)-(V3)下，易知存在d2≥0使得|u·V'u(t，u

4、)-μV(t，u)|≤d2|u|β，()t∈R，()u∈Rm.若V(t，u)還滿(mǎn)足(V4)存在(t0，u0)滿(mǎn)足|u0|=1且V(t0,u0)＞d2/μ-β.那么(HS2)至少存在一條非平凡的同宿軌道。 再進(jìn)一步假設(shè)V(t，u)還滿(mǎn)足(V5)存在函數(shù)b(t)∈C(R,R)滿(mǎn)足b(t)＞0，且inft∈R,|u|=1V(t，u)≥b(t)+d2/μ-β。(V6)V(t，u)=V(t，-u)，t∈R，u∈Rm.那么(HS2)擁有無(wú)窮