自旋致密雙星后牛頓哈密頓系統(tǒng)軌道動力學(xué)數(shù)值研究.pdf

1、由中子星或黑洞構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)致密雙星后牛頓哈密頓系統(tǒng)屬于高度非線性和不可積的相對論二體問題,不但含有豐富的共振和混沌等動力學(xué)現(xiàn)象,而且成為探測引力波的理想天然波源。引力波有h+和hx兩種偏振態(tài),由觀測者位置與系統(tǒng)質(zhì)量四極矩關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)來確定,而引力輻射總能量與該系統(tǒng)質(zhì)量四極矩對時間的三階導(dǎo)數(shù)的平方成正比,這必然導(dǎo)致引力體的動力學(xué)性質(zhì)會在引力波中得到反映。因此,實際天體的混沌性既可能是對引力波探測的挑戰(zhàn),又可望借助引力波獲得觀測效應(yīng)的機

2、遇。本學(xué)位論文正是在這樣的國際學(xué)術(shù)氛圍下利用流形改正方法和辛算法等可靠數(shù)值積分方法并結(jié)合快速Lyapunov指標(biāo)等恰當(dāng)混沌指標(biāo)來研究旋轉(zhuǎn)致密雙星后牛頓保守哈密頓構(gòu)型軌道動力學(xué)現(xiàn)象及其與引力波的關(guān)系。
　　 保守的旋轉(zhuǎn)致密雙星后牛頓哈密頓動力學(xué)問題含有總能量、總角動量3個分量和2個旋轉(zhuǎn)矢量長度共6個運動積分。傳統(tǒng)的Rung-Kutta型算法因存在人工耗散將不能保持這些運動守恒量,從而導(dǎo)致長時間積分的定性結(jié)果不可靠。值得慶幸是標(biāo)度因

3、子流形改正方法可以避免這一問題。為此,我們利用最小二乘法原理分別構(gòu)造了單標(biāo)度因子法和雙標(biāo)度因子法等幾種流形改正方法。以5階Rung-Kutta(RK5)方法作為基本的積分工具,研究后牛頓項、旋轉(zhuǎn)與軌道耦合效應(yīng)1.5PN、2PN的旋轉(zhuǎn)與旋轉(zhuǎn)耦合項以及軌道類型(小偏心率、大偏心率的有序軌道和小偏心率的混沌軌道)對這些流形改正方法和Nacozy方法的數(shù)值性能影響。當(dāng)僅考慮Kepler軌道部分時,所有的流形改正方法都具有相同的校正效果,能量積分

4、精度可達10-16量級。若考慮純軌道部分至3PN階時,各種流形改正方法會產(chǎn)生差異明顯的校正效果,特別是當(dāng)進一步考慮旋轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)時,有些方法甚至比未校正的RK5方法差。對于混沌軌道Nacozy方法的表現(xiàn)也不盡人意。數(shù)值算例證實了同時穩(wěn)定總能量和總角動量的雙標(biāo)度因子法具有最佳的校正效果。對于旋轉(zhuǎn)情形若采用一些省時措施則不會增加很多額外的計算時間,從而保證了數(shù)值計算效率和Lyapunov意義下的穩(wěn)定性。我們發(fā)現(xiàn)混沌軌道比有序軌道更有利于發(fā)揮流

5、形改正方法的效果。然后,利用總能量和總角動量同時校正的雙標(biāo)度因子法與快速Lyapunov指標(biāo)研究了動力學(xué)參數(shù)對混沌的影響以及混沌的參數(shù)空間和初始條件分類。
　　 應(yīng)該值得指出旋轉(zhuǎn)致密雙星演化既然能夠用后牛頓哈密頓系統(tǒng)來表示,自然想到可以借助辛算法來求解。事實上,Lubich等人正是這樣做的。然而,他們的算法是非正則的辛方法,因為除坐標(biāo)與動量外旋轉(zhuǎn)變量是非正則的,不具備全局意義上的保辛結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)。針對這一問題,伍歆和謝懿于20

6、10年設(shè)計了一組正則旋轉(zhuǎn)變量,完善了旋轉(zhuǎn)致密雙星哈密頓理論,為全局辛算法的構(gòu)造提供了理論基礎(chǔ)。另一方面,他們構(gòu)造的半隱Euler嵌入的混合辛積分器(即由牛頓項和旋轉(zhuǎn)項兩部分的解析解與半隱Euler法求解純軌道后牛頓部分所得數(shù)值解組合而成)是有問題的,因為半隱Euler嵌入法比隱中點嵌入法的穩(wěn)定性要差很多,我們的數(shù)值實驗也證實了這一點。基于這些因素,我們改進了Lubich等人的工作,考慮利用正則旋轉(zhuǎn)變量和二階隱中點法以對稱組合方式構(gòu)成二階

7、和四階混合積分器。具體操作如下:先將哈密頓采用攝動分解方式,即Kepler主要部分和攝動部分,而攝動部分包括純軌道后牛頓項、旋轉(zhuǎn)與軌道耦合項和旋轉(zhuǎn)與旋轉(zhuǎn)效應(yīng)項；再給出Kepler部分的解析解,并利用隱中點法獲得攝動部分的數(shù)值解；然后將解析解和數(shù)值解對稱組合成辛積分器。數(shù)值實驗表明采用哈密頓攝動分解形式的二階混合積分器的精度明顯優(yōu)于隱中點法的,計算效率也相當(dāng)。我們也發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化的四階混合辛算法在精度要上要明顯好于二階混合辛積分器,但需要增加

8、一點額外的計算時間。我們還探討了旋轉(zhuǎn)效果和軌道類型對辛方法性能的影響,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)效果雖然大幅降低了辛算法的數(shù)值精度,但是各辛算法在長期數(shù)值積分過程中均能使能量誤差無線性增長,同時,系統(tǒng)的混沌性能促進迭代的快速收斂,提高辛方法的計算效率。最后,利用最優(yōu)化的四階混合辛算法與快速Lyapunov指標(biāo)對相空間全局結(jié)構(gòu)進行掃描。
　　 借助伴隨流形改正的RK算法、辛積分器和快速Lyapunov指標(biāo)對旋轉(zhuǎn)致密雙星哈密頓系統(tǒng)的相空間全局結(jié)構(gòu)掃描

9、都一致表明軌道動力學(xué)的躍遷與動力學(xué)參量、初始條件和初始旋轉(zhuǎn)變量的全面綜合有關(guān),無法獲得單個參數(shù)或初始條件的變化而引起動力學(xué)躍遷的普適規(guī)律。這確是對伍歆和謝懿2008年工作的有力支持。
　　 除了以上數(shù)值研究工作外,我們也力圖做一些理論分析工作。正如伍歆和謝懿所說,正則旋轉(zhuǎn)變量的構(gòu)造不但為辛方法在旋轉(zhuǎn)致密雙星哈密頓動力學(xué)中的應(yīng)用提供了理論支撐,而且能直接判定系統(tǒng)的可積性。僅有一體旋轉(zhuǎn)至任意階的致密雙星后牛頓哈密頓保守系統(tǒng)和二體旋轉(zhuǎn)

10、僅限于軌旋耦合作用第一項的致密雙星后牛頓哈密頓保守系統(tǒng)是應(yīng)用正則旋轉(zhuǎn)變量來判定可積的兩個成功范例。借助這一思想,我們發(fā)現(xiàn)了一個新的可積系統(tǒng),即二體旋轉(zhuǎn)僅限于軌旋耦合作用前兩項的致密雙星后牛頓哈密頓保守系統(tǒng),因為這個10維正則系統(tǒng)含有5個獨立的孤立積分。運用辛算法與快速Lyapunov指標(biāo)對相空間全局結(jié)構(gòu)進行掃描也沒有找到混沌,從而支持了該系統(tǒng)可積這一結(jié)論。
　　 最后,在不考慮引力輻射耗散的情況下,探究了旋轉(zhuǎn)致密雙星的動力學(xué)參量