哈密頓系統(tǒng)周期解的奇異擾動(dòng).pdf

1、本文主要內(nèi)容分兩部分： 第一部分,首先我們研究二階Hamiltonian系統(tǒng)Dtp+P(p)w'(p)=0,P∈M。(1)閘軌道的奇異擾動(dòng),它的奇異擾動(dòng)方程為x+w'(x)+ε2/1G'(x)=0,(2)這里M是Rm+l的m維嵌入子流形。P(p)是從TpRm+l到TpM的正交投影,Dt是沿著方向p的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。w∈C2(Rm+l,R),G∈C2(Rm+l,R)滿足下面兩個(gè)條件： (a)G(x)≥0,G｜M=0,。

2、(b)G在M上點(diǎn)P處的二階微分滿足G"(p)｜NpM是正定。 它的一個(gè)周期解(x,T)稱為閘周期解,如x(0)=x(2/T)=0,x(2/T+t)=x(2/T-t),x(t+T)=x(t),(A)t∈R。 在這部分,我們的主要結(jié)果是：對(duì)于方程組(1)的一個(gè)閘周期解p0(t),只要它的線性化方程的零維數(shù)為1(非退化解),則存在一個(gè)序列εk→0,k→+∞,對(duì)于每一個(gè)這樣的εk,存在方程(2)的非退化閘周期解(xk,T)滿足：

3、｜Xk(t)-p0(t)｜≤cε2k,｜Xk(t)-p0(t)｜≤cεk。 第二部分研究一階Hamilton系統(tǒng)非退化周期解的奇異擾動(dòng)。 在這一節(jié),我們研究一階Hamiltonian系統(tǒng)u=JH'u(u,0),u∈R2m。(3)周期軌道的奇異擾動(dòng),它的奇異擾動(dòng)方程為x=J(H'(x)+1/ε2 G'(x)),(4)這里H∈C2(R2m+2l,R),G∈C2(R2m+2l,R)滿足下面兩個(gè)條件: (a)G(x)≥0

4、,G(u,0)=0,Au∈R2m。 (b)G的二階微分滿足G"(u,0)｜NPM是正定。 對(duì)于特殊的H,G,以及方程組(3)的非退化周期解u0(t),我們有類似二階系統(tǒng)的結(jié)果。 本文的第一節(jié)是一些預(yù)備知識(shí)。 在第二節(jié),我們將把[SZ]中的結(jié)果推廣到閘周期解的情形,并且得到類似的結(jié)果(Theorem 1),并且給出了它的證明。 在第三節(jié),按照[SZ]-文中的方法,在一階系統(tǒng)的情況下,我們給出了類似于