奇異離散線性哈密頓系統(tǒng)的虧指數(shù)及自伴擴(kuò)張.pdf

1、連續(xù)Hamilton(哈密頓)系統(tǒng)的基本理論研究開始于十九世紀(jì)三十年代.一切守恒的真實(shí)的物理過程都可以表示為Hamilton系統(tǒng)。因此，自從連續(xù)Hamilton基本理論建立以來，它就成為非線性科學(xué)領(lǐng)域里面一個(gè)重要的組成部分，并且在數(shù)理科學(xué)、生命科學(xué)等領(lǐng)域，特別是量子力學(xué)、生物工程中有著廣泛且重要的應(yīng)用(參見[4，67]及其參考文獻(xiàn))。微分算子的譜問題主要可以分為兩類：定義在有限閉區(qū)間上且系數(shù)具有很好性質(zhì)的譜問題稱為正則的譜問題；否則稱為

2、奇異的譜問題.正則的譜問題的研究已經(jīng)形成了比較完整的理論體系，如特征值的性質(zhì)，特征函數(shù)的正交性。平方可積解關(guān)于特征函數(shù)的展開定理，Rayleigh原理以及正交多項(xiàng)式理論等。同正則情況相比，奇異譜問題的研究相對復(fù)雜而困難.因?yàn)檎齽t情況下的譜只有點(diǎn)譜，而奇異情況下除點(diǎn)譜外還可能產(chǎn)生其它譜點(diǎn)，如連續(xù)譜和奇異點(diǎn)譜。
　　 無論是理論上還是應(yīng)用上，微分算子譜問題的研究都具有重要的意義。而對稱算子的自伴擴(kuò)張問題在算子譜問題的研究中是極其重要

3、的.研究對稱算子的自伴擴(kuò)張問題主要有兩種方法，一是von Neumann理論(參見[99]).經(jīng)典的von Neumann理論給出了抽象的Hilbert空間中閉對稱算子存在自伴擴(kuò)張的充分必要條件.閉對稱算子的自伴擴(kuò)張可以通過對其伴隨算子加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件得到.第二種方法就是Glazman-Krein-Naimark(GKN)理論(參見[68]).它是由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Glazman，Krein及Nmmark于1950年創(chuàng)立.GKN理論將辛幾何

4、和辛代數(shù)的理論應(yīng)用于Hilbert空間中對稱算子自伴擴(kuò)張的研究中，指出所有的自伴算子擴(kuò)張都可以通過對GKN集加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件得到.對于奇異連續(xù)線性Hamilton系統(tǒng).如果相應(yīng)的確定性條件滿足，由該系統(tǒng)生成的最大算子是良好定義的.最小算子是稠定的，而且最小算子的正負(fù)虧指數(shù)恰好等于該系統(tǒng)在上下半平面線性無關(guān)平方可積解的個(gè)數(shù)(參見[59，60，80].利用von Neumann理論和GKN理論，連續(xù)Hamilton系統(tǒng)(包括高階對稱微分方程

5、)的自伴擴(kuò)張域已經(jīng)給出了完全的刻畫(參見[13，14，15，41，75，90，91，92]等).但是，如果相應(yīng)的確定性條件不滿足，則最大算子可能是多值的，即不足通常意義下的算子，而且最小算子也可能不是稠定的[64]，從而前面提到的方法就不適用了。
　　 隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展和數(shù)字化計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，出現(xiàn)了很多以離散Hamil-ton系統(tǒng)為支撐的數(shù)學(xué)模型.從而對離散Hamilton系統(tǒng)的研究引起了越來越多的學(xué)者的關(guān)注(參見[2，

6、6，9，10，11，12，20，81，85]及其參考文獻(xiàn))。離散系統(tǒng)有其實(shí)際的應(yīng)用背景.眾所周知，連續(xù)系統(tǒng)通常用微分系統(tǒng)來描述，但有些系統(tǒng)(如采樣系統(tǒng))卻不能用微分系統(tǒng)來描述，而只能用離散系統(tǒng)來描述.另一方面，對于一般的非線性微分系統(tǒng)，其精確解是無法求出的，所以常常將其離散化為離散系統(tǒng)求其近似解.因此，離散Hamilton系統(tǒng)，不僅來源于連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的離散化，也來自于遵循Hamilton原理的離散過程，比如離散物理問題.離散

7、控制問題等.雖然離散系統(tǒng)與其對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)有很多相似之處，但也有很多不同之處.而且，在某些方面，離散系統(tǒng)的問題研究起來更困難。離散的譜問題也分為兩類，定義在有限閉區(qū)間上且系數(shù)具有很好性質(zhì)的譜問題稱為正則的譜問題；否則稱為奇異的譜問題.與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)問題的研究還不是那么全面.對于正則譜問題的研究歷史已經(jīng)很長，并且取得了很多好的結(jié)果(參見[1，2，11，12，17，18，35，56，85]等).Atkinson[6]首先研究了無限

8、區(qū)間上二階對稱的純量差分方程的奇異譜問題，接著Hinton和Lewis等人做了進(jìn)一步研究[48].隨后史玉明，陳紹著，Clark，Smith，Bohner，Dosly，Jirari，孫華清等對二階及高階形式自伴的向量差分方程與離散Hamilton系統(tǒng)的譜問題進(jìn)行了研究[16，19，54，66，71，72，84，85，86，87].Clark與Gesztesy研究了具有分離型邊值條件的奇異離散Hamilton系統(tǒng)的Titchmarsh-W

9、eyl理論[20].對于奇異離散線性Hamilton系統(tǒng)J△y(t)=(P(t)+λW(t))R(y)(t)，t∈[0，+∞)，史玉明建立了它的Titchmarsh-Weyl理論[81].隨后，孫書榮、史玉明和陳紹著建立了奇異離散Hamilton系統(tǒng)的自伴擴(kuò)張理論[95].孫華清在其博士論文中給出了由它生成的最小算子的自伴擴(kuò)張域的刻畫[89].但是，隨后史玉明和孫華清發(fā)現(xiàn)，即使相應(yīng)的確定性條件成立，文獻(xiàn)[81，89，95]中定義的最大算

10、子可能是多值的，即這里定義的最大算子不是通常意義下的算子，而且最小算子可能是不稠定的.不僅如此，最小算子也可能是多值的.這是差分方程與微分方程的又一個(gè)重要不同之處.所以我們有必要對離散系統(tǒng)的確定性條件作進(jìn)一步深入的分析，并對前面出現(xiàn)的問題予以修正。由于離散Hamilton系統(tǒng)生成的最小算子可能是多值的和不稠定的，按照經(jīng)典的算子理論它沒有伴隨算子.進(jìn)而，其它的一些算子理論，如之前介紹過的適用于稠定Hermite算子的von Neumann

11、自伴擴(kuò)張理論和GKN理論，對離散系統(tǒng)就不適用了.為了解決這些問題，一些學(xué)者將稠定的Hermite算子的概念和相關(guān)理論推廣到Hermite線性子空間.Coddington和他的合作者[22，23，24]首先成功地將適用于對稱算子的von Neumann自伴擴(kuò)張理論推廣到Hermite子空間.然后，證明了一個(gè)Hermite子空間有自伴子空間擴(kuò)張的充分必要條件是其正負(fù)虧指數(shù)相等.隨后，Lesch和Malamud把von Neumann公式推廣

12、到Hermite子空間[64].最近，史玉明又將經(jīng)典的GKN理論推廣到Hermite子空間[82]，并在此基礎(chǔ)上給出二階形式自伴差分方程自伴子空間的全部刻畫[83].這是奇異差分算子自伴擴(kuò)張研究的先河。根據(jù)經(jīng)典的或推廣的von Neumann理論，一個(gè)對稱算子或閉Hermite子空間有自伴擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)其正負(fù)虧指數(shù)相等，并且自伴擴(kuò)張的表達(dá)式與虧指數(shù)有直接關(guān)系.因此，無論是微分算子還是差分算子，虧指數(shù)對研究自伴擴(kuò)張有非常重要的意義.我們已經(jīng)

13、知道，在確定性條件下，由2m階實(shí)系數(shù)形式自伴純量微分方程生成的微分算子的正負(fù)虧指數(shù)相等，即d+=d-=d，且d恰好等于當(dāng)λ∈C＼R時(shí)該方程線性無關(guān)平方可積解的個(gè)數(shù).對微分算子虧指數(shù)的研究結(jié)果有很多，如[27，28，29，30，33，37，42，55，57，58，62，63，65，70，98，102].特別地，Glazman在文獻(xiàn)[43]中證明當(dāng)區(qū)間(a，b)=(0，+∞)，且x=0是正則點(diǎn)時(shí)，虧指數(shù)d滿足不等式m≤d≤2m，且這個(gè)范圍內(nèi)

14、的所有值都可以取到.另外，對于復(fù)系數(shù)形式自伴微分方程，正負(fù)虧指數(shù)可能不相等.Mcleod在文獻(xiàn)[65]中給出了一個(gè)正負(fù)虧指數(shù)是(2，3)的四階復(fù)系數(shù)微分方程的例子.對于形式自伴差分方程來說，這方面的研究結(jié)果很少。本文研究奇異離散線性Hamilton系統(tǒng)的譜理論，包括離散線性Hamilton系統(tǒng)的確定性條件和虧指數(shù)，極限點(diǎn)型和極限圓型的判定；離散線性Hamilton系統(tǒng)的自伴子空間擴(kuò)張的刻畫和自伴算子擴(kuò)張的刻畫；2m階形式自伴差分方程虧指

15、數(shù)的取值范圍，極限點(diǎn)型和強(qiáng)極限點(diǎn)型的判定，及其自伴算子擴(kuò)張的刻畫.
　　 本文分為五章。第一章是知識(shí)準(zhǔn)備，介紹線性子空間，特別是Hermite線性子空間的基本知識(shí)，本文常用的矩陣的基本結(jié)論以及離散線性Hamilton系統(tǒng)的基本知識(shí)。第二章主要考慮離散線性Hamilton系統(tǒng)的確定性條件和虧指數(shù)。首先證明最小子空間的伴隨子空間等于最大子空間。這個(gè)結(jié)論對后面研究由離散線性Hamilton系統(tǒng)生成的最小子空間的虧指數(shù)和自伴擴(kuò)張起到非常

16、重要的作用.然后系統(tǒng)地研究了確定性條件，給出確定性條件的多個(gè)等價(jià)的敘述和多個(gè)充分條件.在此基礎(chǔ)上，建立了離散線性Hamilton系統(tǒng)生成的最小子空間的的虧指數(shù)與離散線性Hamilton系統(tǒng)線性無關(guān)平方可和解個(gè)數(shù)之間的關(guān)系式.特別地，證明虧指數(shù)與線性無關(guān)平方可和解個(gè)數(shù)相等的充分必要條件是確定性條件成立.這為接下來研究最小子空間的自伴擴(kuò)張作好了鋪墊.最后，給出幾個(gè)極限點(diǎn)型和極限圓型的判定。在第三章中，我們討論離散線性Hamilton系統(tǒng)生成

17、的最小子空間的自伴子空間擴(kuò)張.在第二章結(jié)果的基礎(chǔ)上，首先，對離散線性Hamilton系統(tǒng)生成的最小子空間進(jìn)行刻畫.然后，利用線性無關(guān)平方可和解再對最大子空間進(jìn)行刻畫.最后，利用邊界條件和線性無關(guān)平方可和解給出最小子空間的所有自伴子空間擴(kuò)張的刻畫.本章內(nèi)容修正了文獻(xiàn)[89]中的相應(yīng)結(jié)果。 我們知道，只有當(dāng)最小子空間是算子時(shí)，它才有可能有自伴算子擴(kuò)張.根據(jù)Coddington的結(jié)論，一個(gè)Hermite算子有自伴算子擴(kuò)張的充分必要條件是其正負(fù)

18、虧指數(shù)相等，并且所有這些自伴算子擴(kuò)張都包含于其自伴子空間擴(kuò)張中.所以，我們可以通過對自伴子空間適當(dāng)加強(qiáng)條件而得到其自伴算子擴(kuò)張.因此，要想給出最小子空間的自伴算子擴(kuò)張，必須首先判斷最小子空間是否是算子.在第四章，首先分別給出最小算子H0是算子的條件和是稠定的條件，然后再根據(jù)第三章所得的最小子空間自伴子空間擴(kuò)張的刻畫，給出最小子空間的自伴算子擴(kuò)張的刻畫。最后，第五章考慮2m階形式自伴差分方程的虧指數(shù)和自伴算子擴(kuò)張的刻畫.首先證明對于實(shí)系數(shù)