3維Anti de Sitter空間中子流形的局部微分幾何.pdf

1、眾所周知，Anti de Sitter空間（或，AdS—空間）是具有負(fù)的常截面曲率的Lorentzian空間型，是理論物理學(xué)中一個(gè)很重要的研究對(duì)象，在相對(duì)論中，AdS—空間是Einstein方程的真空解之一，且具有正的能量表示，在物理學(xué)中有一個(gè)猜想：AdS—空間上的經(jīng)典重力理論與這個(gè)空間理想邊界上的共形場(chǎng)理論是等價(jià)的．E．Witten稱這個(gè)猜想為AdS/CFT對(duì)應(yīng)（Anti de Sitter space/conformal field

2、 the—ory correspondence）或AdS—全息術(shù)原理（AdS—holography principle）．這個(gè)對(duì)應(yīng)為研究量子重力和量子色動(dòng)力提供了很好的研究思路，是理論物理中一個(gè)很重要的概念性突破之一．如果用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)解釋AdS/CFT對(duì)應(yīng)則為：AdS—空間中子流形的微分幾何性質(zhì)與AdS—空間中理想邊界上的規(guī)范場(chǎng)論的幾何性質(zhì)是相對(duì)應(yīng)的．因此對(duì)AdS—空間中子流形的微分幾何性質(zhì)進(jìn)行研究是很有意義的．然而，目前對(duì)AdS—空

3、間中浸入子流形的幾何性質(zhì)的研究還不多，尤其是從奇點(diǎn)理論的角度，近年來(lái)，應(yīng)用奇點(diǎn)理論對(duì)各類空間型中子流形幾何性質(zhì)的研究得到了飛速發(fā)展，特別是S．Izumiya教授和裴東河教授等做出了很多理想的結(jié)果．實(shí)踐證明，無(wú)論從局部還是從整體的角度來(lái)看，奇點(diǎn)理論都是研究不同空間中浸入子流形幾何性質(zhì)的一個(gè)強(qiáng)有力工具．奇點(diǎn)與幾何之間的自然聯(lián)系反應(yīng)了子流形與某些模型（即合適變換群作用下的不變量）之間的切觸關(guān)系，本文則以奇點(diǎn)理論為工具對(duì)3維AdS—空間中的子流

4、形與某些模型曲面之間的切觸關(guān)系進(jìn)行了深入細(xì)致的研究． 第一章是引言部分，我們介紹了奇點(diǎn)理論的發(fā)展史以及奇點(diǎn)理論在應(yīng)用方面的最新成果，同時(shí)還介紹了本文的基本框架． 第二章介紹了指標(biāo)為2的半歐氏空間和切觸幾何的相關(guān)知識(shí)，特別地，我們證明了指標(biāo)為2的半歐氏空間中偽球間的Legendrian對(duì)偶定理（定理2．2．1和定理2．2．2），這些定理是Izumiya[1，2]結(jié)果的推廣，利用這些定理我們可以對(duì)3維Anti de Sitt

5、er空間中非退化曲面上的高斯映射的性態(tài)進(jìn)行刻畫． 第三章構(gòu)建了3維AdS—空間中類空曲面的基本框架．在類空曲面上定義類時(shí)Anti de Sitter高斯像（簡(jiǎn)記為，TAdS—高斯像）和類時(shí)Anti de Sitter高度函數(shù)（簡(jiǎn)記為，AdS—高度函數(shù)），并且研究這些映射奇點(diǎn)的幾何意義．作為L(zhǎng)egendrian奇點(diǎn)理論的應(yīng)用，考慮類空曲面與模型曲面（即，平坦AdS—雙曲面）的切觸問題． 第四章從切觸的觀點(diǎn)考慮3維AdS—空

6、間中的類時(shí)曲面．定義兩個(gè)與類時(shí)曲面相關(guān)的映射，分別稱為Anti de Sitter nullcone高斯像（簡(jiǎn)記為，AdS—nullcone高斯像）和Anti de Sitter環(huán)面高斯映射（簡(jiǎn)記為，AdS—環(huán)面高斯映射）．在類時(shí)曲面上定義一個(gè)函數(shù)族，稱之為Anti de Sitter null高度函數(shù)．把這個(gè)函數(shù)族作為基本工具來(lái)研究AdS—nullcone高斯像和AdS—環(huán)面高斯映射的奇點(diǎn)的幾何意義．我們也考慮類時(shí)曲面與模型曲面（即，

7、AdS—極限球）的切觸關(guān)系．盡管研究方法是類似的，但是在類時(shí)曲面情形可以得到很多新的幾何信息． 第五章研究3維AdS—空間中退化曲面Anti de Sitter null曲面（簡(jiǎn)記為，AdS—null曲面）的幾何性質(zhì)．這個(gè)曲面與3維AdS—空間中的類空曲線相關(guān)聯(lián)，我們?cè)陬惪涨€上定義一個(gè)映射并稱之為環(huán)面高斯像；又定義兩個(gè)函數(shù)族，分別稱為類空曲線上的環(huán)面高度函數(shù)和AdS—距離平方函數(shù)．作為函數(shù)奇點(diǎn)理論的應(yīng)用，利用這兩個(gè)函數(shù)族來(lái)研究