Schur Q-函數(shù)和不相交行走的組合性質(zhì).pdf

1、這篇論文主要研究了Schur Q-函數(shù)和不相交行走的一些組合性質(zhì)。由Clifford最近提出并發(fā)展起來的Schur Q-函數(shù)上的移位秩理論平行于Schur函數(shù)上的秩理論，它在代數(shù)組合以及射影表示論中都具有重要意義。不相交行走或不相交路是組合數(shù)學(xué)的另一重要研究對象。不相交行走者模型是指直線上的一個(gè)對稱的簡單隨機(jī)行走系統(tǒng)，使得在給定的時(shí)間段內(nèi)，沒有一個(gè)行走者和其他行走者相遇。這個(gè)模型最早由Fisher在1984年引入到數(shù)學(xué)物理中。近年來，該

2、模型受到統(tǒng)計(jì)力學(xué)家和組合數(shù)學(xué)家的廣泛研究。
　　 本論文由兩部分組成。第一部分研究了Schur Q-函數(shù)上的移位秩問題，給出了Schur Q-函數(shù)上的移位秩的一些組合性質(zhì)。第二部分研究了不相交行走的計(jì)數(shù)問題，給出了三不交行走構(gòu)形和四不交行走構(gòu)形的計(jì)數(shù)公式的組合推導(dǎo)。
　　 第二章和第三章構(gòu)成了本文的第一部分。在第二章，我們給出了Schur函數(shù)的一個(gè)概括性介紹，包括Schur函數(shù)的代數(shù)定義和組合定義、Schur函數(shù)和對稱群

3、的不可約表示之間的聯(lián)系、Murnaghan-Nakayama法則以及斜Schur函數(shù)的rank和zrank。
　　 第三章主要研究了Schur Q-函數(shù)上的移位秩問題。我們證明了各部分互異的任一分拆λ的移位秩，等于Schur QA函數(shù)的冪和對稱函數(shù)展開式中所有項(xiàng)的最低次數(shù)，從而證明了Clifford猜想。Clifford指出，移位秩的概念可自然地推廣到斜分拆入/弘上，定義為所有斜條表中條的個(gè)數(shù)的最小值。盡管移位秩猜想對斜分拆并不

4、成立，我們?nèi)越o出了一個(gè)算法計(jì)算移位秩。在本章的最后，對于任一嚴(yán)格分拆A，我們引進(jìn)了A的szrank的概念，并提出一個(gè)公開問題：對于任意的嚴(yán)格分拆A，是否總有szrank(A)=srank(A)成立？
　　 第四章是本文的第二部分。我們建立了三格路徑對的一個(gè)反射原理，利用該原理把三不交行走構(gòu)形的計(jì)數(shù)簡化為了二不交行走構(gòu)形的計(jì)數(shù)，從而給出了三不交行走構(gòu)形的個(gè)數(shù)所對應(yīng)生成函數(shù)公式的一個(gè)組合解釋。這一生成函數(shù)公式最初由Bousquet-