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文檔簡介
1、如今分數(shù)階微積分已成為流行在社會科學與工程的重要工具。特別是時空分數(shù)階擴散方程正越來越多地應(yīng)用于研究許多領(lǐng)域的反常擴散現(xiàn)象。由于分數(shù)階導數(shù)的非局部性,其數(shù)值求解會生成滿系數(shù)矩陣,并且此矩陣的求解需要消耗大量的計算成本及存儲量。所以我們展開研究快速數(shù)值方法來解決這一問題。
本研究第一步給出時-空分數(shù)階雙邊擴散方程的一般形式:(e)βu(x,t)/(e)tβ=d+(x,t)(e)αu(x,t)/(e)+xα+d-(x,t)(e)α
2、u(x,t)/(e)_xα+f(x,t),0≤t≤T,xL≤x≤xR,u(x,0)=u0(x),xL≤x≤xR,u(xL,t)=0,u(xR,t)=0,0≤t≤T。對于時間分數(shù)階,我們采用Caputo分數(shù)階導數(shù);對于空間分數(shù)階,采用左和右的Riemann-Liouville空間分數(shù)階導數(shù),并利用修正的Grunwald-Letnikov近似。給出相應(yīng)的有限差分格式及矩陣格式。第二步有限差分格式的滿系數(shù)矩陣,它可以分解成Toeplitz矩陣
3、與向量乘積之和。根據(jù)Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣的關(guān)系,以及循環(huán)矩陣的性質(zhì),提出用傅里葉變換法求解矩陣向量的乘積,開發(fā)一個基于快速傅里葉變換(FFT)的快速解決方案。第三步基于FFT的快速解決方案,我們開發(fā)了兩種快速數(shù)值方法:一種是O(N log N)的最小剩余共軛梯度平方快速迭代方法,一種是O(N log2 N)的快速有限差分法。與常規(guī)有限差分法相比能夠極大地減少計算成本和存儲空間,同時保持相同的精度。第四步對于多項分數(shù)階時-空Ca
4、puto-Riesz方程(MT-TSCR-FDE),P(Dt)u(x,t)=p(x)Rβx+q(x)Rγx-h(x)u(x,t)+F(x,t)。首先利用預(yù)估-校正法對此多項分數(shù)階方程進行數(shù)值逼近,然后應(yīng)用上面提出的方法和步驟,分析研究數(shù)值求解的快速方法,以極大地減少計算成本和存儲空間。第五步:數(shù)值實驗。分別針對時-空Caputo-Riesz分數(shù)階擴散方程,一個有解析解的時-空分數(shù)階擴散方程,以及最后的MT-TSCR-FDE給出實例數(shù)值模
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