大型線性方程組求解技術(shù)及在計算電磁學(xué)中的應(yīng)用研究.pdf

1、計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算涉及到航空航天、現(xiàn)代生物與醫(yī)學(xué)、石油勘探、環(huán)境科學(xué)、隱身器件設(shè)計等國民經(jīng)濟(jì)與國防建設(shè)的各個方面，其中往往需要求解一個或一系列大型線性系統(tǒng).而且，隨著問題規(guī)模的增大，相應(yīng)線性系統(tǒng)的未知數(shù)個數(shù)大大增加，動輒上百萬、千萬，甚至上億.這些大型線性方程組的求解是求解整個問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵所在，其計算量也占整個計算過程非常大的比重，有的甚至達(dá)到80％以上.超大規(guī)模線性系統(tǒng)求解能力的缺乏成為解決某些實際問題的瓶頸.大型線性方程組求

2、解研究是現(xiàn)代科學(xué)計算的重要課題和焦點之一，高效、快速的求解方法研究既有理論意義又有實際價值.本文旨在深入研究求解大型線性系統(tǒng)的高性能算法，并特別針對電磁計算中產(chǎn)生的大型線性系統(tǒng)，構(gòu)造有效的算法.
　　 構(gòu)造對稱正定矩陣的不完全分解預(yù)條件子.不完全分解預(yù)條件迭代法的通常做法是，先對系數(shù)矩陣進(jìn)行重排，再不完全分解，然后再進(jìn)行預(yù)條件迭代求解．本文將近似最小度排序嵌入不完全分解過程，提出了一類新型的高效預(yù)條件技術(shù).給出了基于IKJ高斯消

3、元的不完全Cholesky分解，并討論了一些實現(xiàn)細(xì)節(jié)，然后分析了精確計算和近似計算分解過程中節(jié)點度的方法.結(jié)合CG方法，提出的預(yù)處理技術(shù)能很大地加快迭代法收斂速度.最后用豐富的數(shù)值實驗表明與最小度排序耦合的不完全分解預(yù)條件技術(shù)的效率，要高于按照一般做法得到的預(yù)條件子的效率.
　　 深入研究求解非Hermitian正定線性方程組的Hermitian與Skew-Hermitian分裂(HSS)方法，提出了稱為非平衡(lopsided

4、)HSS(LHSS)與非對稱(asymmetric)HSS(AHSS)方法.這類方法包含兩步迭代，本文從理論上研究了其收斂性以及最優(yōu)參數(shù)的選擇問題.在LHSS迭代和AHSS迭代的每一步，都需要求解兩個線性方程組.如果用直接法求解這兩個方程組，其每個方程組的計算量與求解原方程組相當(dāng)，那么這里的兩步迭代就失去了意義.為了加快兩步迭代的收斂速度，在求解這兩個方程組時，不準(zhǔn)確求出其解，而是用迭代法求其近似解，得到了所謂的ILHSS與IAHSS方

5、法.給出的數(shù)值例子驗證了本章提出方法的有效性.
　　 基于選主元策略研究對稱不定矩陣的較為穩(wěn)定的預(yù)條件技術(shù).該類預(yù)條件子修正不完全Choleksy(MIC)分解來構(gòu)造，在分解過程中采用RBBK選主元策略，得到的預(yù)條件子一般也具有不定性，期望與原方程組的系數(shù)矩陣更相近.通過數(shù)值例子表明，作用于SQMR方法時，該類預(yù)條件子顯示出了很好的效果.
　　 針對非對稱矩陣，研究基于Givens變換的不完全正交預(yù)處理技術(shù).直接將得到的

6、不完全QR分解作為原方程組的預(yù)條件子，并通過數(shù)值實驗驗證了提出的預(yù)條件方法的高效性.然后著重研究了排序?qū)ivens旋轉(zhuǎn)的QR分解的影響，給出了一種減少Q(mào)R分解中所作Givens旋轉(zhuǎn)次數(shù)的排序算法.
　　 針對開域電磁計算問題中出現(xiàn)的大型線性方程組，研究適用有效的預(yù)條件子.先討論用FEM方法求解散射問題時遇到的線性方程組的求解，提出并實現(xiàn)了MIC分解預(yù)條件子，然后研究FEM/MoM混合方法求解輻射和散射問題中產(chǎn)生的復(fù)雜線性方程組