隨機(jī)延遲微分方程的數(shù)值解穩(wěn)定性.pdf

1、本文在沒有線性增長(zhǎng)和全局Lipschitz連續(xù)的條件下,研究了定延遲隨機(jī)微分方程和無界延遲隨機(jī)微分方程的真實(shí)解以及數(shù)值解的零解穩(wěn)定性.利用Lyapunov函數(shù)思想以及連續(xù)型和離散型半鞅收斂定理,得到了真實(shí)解的零解穩(wěn)定性,包括p階矩和a.s.軌道意義下的指數(shù)穩(wěn)定和ψ-穩(wěn)定條件;也得到了數(shù)值解的零解穩(wěn)定性包括均方和a.s.軌道意義下的漸近穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定和ψ-穩(wěn)定條件.之后對(duì)方程系數(shù)施加限制條件,具體化一般條件,使得定理的條件更易于驗(yàn)證.

2、r>　　利用連續(xù)的半鞅收斂定理,在單調(diào)型條件下,得到了定延遲隨機(jī)微分方程p階矩和a.s.軌道意義下的零解指數(shù)穩(wěn)定.而對(duì)無界延遲隨機(jī)微分方程的研究中,引入Ψ類函數(shù)作為參照函數(shù),并且借助衰減因子ψ?ε(δ(t))來抑制無界延遲所帶來的困難,得到了在單調(diào)型條件下無界延遲隨機(jī)微分方程p階矩和a.s.軌道意義下的零解ψ-穩(wěn)定.
　　在討論數(shù)值解的穩(wěn)定性方面,利用離散的半鞅收斂定理,研究了BackwardEuler-Maruyama(BEM)

3、以及更一般的隨機(jī)θ方法的零解穩(wěn)定性.對(duì)于定延遲隨機(jī)微分方程,我們?cè)趩握{(diào)條件下,得到了的上述兩種數(shù)值解的均方漸近穩(wěn)定、a.s.軌道漸近穩(wěn)定.當(dāng)條件加強(qiáng)為強(qiáng)單調(diào)條件,則可以得到數(shù)值解的均方指數(shù)穩(wěn)定和a.s.軌道指數(shù)穩(wěn)定,這是本文的主要特征之一.值得一提的是,在對(duì)隨機(jī)θ方法穩(wěn)定性分析中,我們同時(shí)給出了當(dāng)θ∈[0,0.5)時(shí)該數(shù)值方法無法復(fù)現(xiàn)真實(shí)解零解穩(wěn)定性的反例,以及θ∈(0.5,1]時(shí)該數(shù)值方法能夠穩(wěn)定的證明.對(duì)于無界延遲隨機(jī)微分方程,并且

4、借助衰減因子ψ?ε(δ(t)),在單調(diào)條件下和強(qiáng)單調(diào)條件下,分別得到了上述兩種數(shù)值方法均方和a.s.軌道意義下的的漸近穩(wěn)定性以及ψ-穩(wěn)定性.
　　本文在程序上采用“兩階段模式”:首先,在單調(diào)型條件下建立一般性定理;其次,具體化一般性定理的條件,通過加入f與g的增長(zhǎng)條件,得到只含有系統(tǒng)參數(shù)的約束條件,最終得到便于應(yīng)用的定理.我們主要考慮兩類具體化的條件,單邊線性增長(zhǎng)條件和多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件.在多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件中,將擴(kuò)散系數(shù)g放寬至多項(xiàng)式增

5、長(zhǎng).在該條件下所得結(jié)論較之現(xiàn)有結(jié)論有了本質(zhì)的改進(jìn),使得結(jié)論覆蓋了許多擴(kuò)散系數(shù)不滿足線性增長(zhǎng)的重要系統(tǒng),如Lotka-Volterra系統(tǒng).而以上兩個(gè)具體化的條件,不但包涵在單調(diào)型條件內(nèi),也包涵在強(qiáng)單調(diào)型條件內(nèi),這說明了強(qiáng)單調(diào)條件有著很廣的適用范圍、并從側(cè)面反映了兩個(gè)單調(diào)型條件是非常接近的.
　　本文關(guān)于數(shù)值解穩(wěn)定性的結(jié)論有對(duì)步長(zhǎng)的要求很弱,僅僅只要滿足隱式數(shù)值方法的定義合理,而在定理證明中沒有其他限制.換句話說,若數(shù)值解定義合理,