有限s-弧傳遞圖.pdf

1、本文主要研究有限s-弧傳遞圖的分類問題。令Γ表示一個(gè)圖,VΓ、EΓ、和AutΓ分別表示它的頂點(diǎn)集、邊集和全自同構(gòu)群。頂點(diǎn)序列(α0,α1,…,αs)稱為一個(gè)s-弧,如果對(duì)任意可能的i,恒有{αi-1,αi}∈ EΓ,并且αi-1≠αi+1。圖Γ稱為(G,s)-弧傳遞圖,如果AutΓ的一個(gè)子群G,在它的s-弧集上的作用是傳遞的；圖Γ稱為(G,s)-傳遞圖,如果Γ是(G,s)-弧傳遞,但不是(G,s+1)-弧傳遞的。有限s-弧傳遞圖的研究起

2、源于W.T.Tutte在1947年給出的一個(gè)漂亮結(jié)果：一個(gè)三度圖最多是5-弧傳遞的。自此之后,關(guān)于有限s-弧傳遞圖的研究就引起了廣泛的關(guān)注,并逐步成為了代數(shù)圖論中一個(gè)非常活躍的研究課題。特別是這類圖的分類與刻畫,一直倍受關(guān)注,它是一個(gè)公認(rèn)的難題但具有重大的理論意義。本文側(cè)重于研究奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的2-弧傳遞圖和三度的s-弧傳遞Cavley圖。C.E.Praeger[57]在1992年證明了每一個(gè)2-弧傳遞圖都是一個(gè)擬本原或雙擬本原2-弧傳遞圖

3、的正規(guī)覆蓋(將在2.2節(jié)給出定義)并且擬本原自同構(gòu)群只能是四種擬本原型之一。稱一個(gè)沒有非平凡正規(guī)商圖的圖為基本圖?？梢灾婪诸惢蚩坍嫽緢D是研究2-弧傳遞圖的核心。李才恒[42]證明了,當(dāng)圖頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),對(duì)稱圖至多是3-弧傳遞的并且每一個(gè)基本圖都可以由幾乎單群構(gòu)成,同時(shí)提出了一個(gè)問題:分類或刻畫奇數(shù)個(gè)點(diǎn)的2-弧傳遞圖。這個(gè)問題自提出到現(xiàn)在的十?dāng)?shù)年的時(shí)間里都沒有得到解決。本文的主要工作之一就是分類了奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的2-弧傳遞基本圖。在我們

4、的工作過程中,有兩個(gè)重要的工具:一個(gè)是Thompson-Wielandt定理,另一個(gè)是Liebeck和Saxl在1985年給出的關(guān)于奇次數(shù)本原置換群的分類定理。令Γ為一個(gè)奇數(shù)個(gè)點(diǎn)的(G,2)-弧傳遞圖,其中G是幾乎單群。這時(shí)點(diǎn)α∈VΓ的穩(wěn)定子Gα在其鄰域Γ(α)上誘導(dǎo)的置換群GΓα(α)是2-傳遞置換群。而2-傳遞置換群已經(jīng)完全分類了。首先根據(jù)Thompson-Wielandt定理,我們可以得到Gα的基本結(jié)構(gòu),特別是它的非可解合成因子的

5、分布情況。進(jìn)而,利用奇次數(shù)本原置換群的分類定理,通過分析Gα與G之間的一個(gè)特定的子群鏈,遞歸的得到G以及Gα的精確結(jié)構(gòu)。最后,根據(jù)已經(jīng)得到的(G,Gα)確定相應(yīng)圖的存在性,從而給出了奇數(shù)個(gè)點(diǎn)2-弧傳遞基本圖的一個(gè)分類與刻畫。
　　 本文的另一個(gè)主要工作是研究三度對(duì)稱Cayley圖?？梢宰C明每一個(gè)對(duì)稱Cavley圖要么至多是2-弧傳遞的,要么是一個(gè)s-弧傳遞無核Cayley圖的正規(guī)覆蓋。李才恒[48]證明了當(dāng)s≥3時(shí),對(duì)于給定度數(shù)

6、的s-弧傳遞無核Cayley圖只有有限多個(gè)。本文中,通過研究次數(shù)不超過48的傳遞置換群的結(jié)構(gòu),給出了三度對(duì)稱無核Cayley圖的分類,同時(shí)證明了每一個(gè)三度對(duì)稱Cayley圖或者是正規(guī)的,或者有一個(gè)正規(guī)的半正則子群恰好有兩個(gè)軌道,或者是下面15個(gè)圖之一的正規(guī)覆蓋:兩個(gè)2-傳遞圖,三個(gè)3-傳遞圖,四個(gè)4-傳遞圖和六個(gè)5-傳遞圖。同時(shí),在不利用單群分類的前提下證明了一個(gè)著名結(jié)論:所有有限非交換單群的連通三度對(duì)稱Cayley圖除了兩個(gè)5-弧傳遞