誘導(dǎo)理想和純無限Toeplitz代數(shù).pdf

1、在過去的幾十年中,許多數(shù)學(xué)工作者(例如A.Nica<'[7]>,M.Laca<'[4]>,<'[16]>,I.Raeburn[5]等)都對(duì)定義在離散群上的Toeplitz代數(shù)作了深入而且廣泛的研究.該文的主要目的是通過對(duì)相關(guān)Toeplitz代數(shù)的誘導(dǎo)理想的刻劃來研究Toeplitz代數(shù)的純無限性質(zhì).該文共分五節(jié).前兩節(jié)分別給出了幾個(gè)重要的基本概念(擬格序群和可傳定向集等)以及與它們各自相關(guān)的命題.第三節(jié)的主要目的是對(duì)Toeplitz算子

2、代數(shù)間自然的同態(tài)成為C*-代數(shù)同態(tài)進(jìn)行說明.其主要任務(wù)是為刻劃Toeplitz代數(shù)TG+的誘導(dǎo)理想奠定基礎(chǔ).對(duì)任意的擬格序群(G,G<,+>),假設(shè)E是G的一個(gè)包含G<,+>子集,那么我們可以得到兩個(gè)相關(guān)的Toeplitz代數(shù)TG+TE.定理3.2.1給出了γE,G+:TG+→TE作為C*代數(shù)同態(tài)的充分和必要條件足:存在G+的可傳定向子集H,使得E=G<,+>·H<'-1>.該節(jié)里的定理3.3.1還從另一個(gè)角度給出了一個(gè)充分必要條件.設(shè)

3、G為一個(gè)離散群,E1,E2是G的兩個(gè)子集,滿足E1( )E2,并且e∈E2,定理3.3.1指出TE1與TE2間的自然同態(tài)γE2,E1(滿足對(duì)任意的g∈G,γ<'E2>,<'E1>(TE1g)=TE2g)成為C*-代數(shù)同態(tài)的充分必要條件是E2被E1有限協(xié)變提升.第一、二、三節(jié)是該文的基礎(chǔ)部分,詳細(xì)內(nèi)容可以參考[6]、[27].第四、五兩節(jié)是該文的主要結(jié)果部分.設(shè)(G,G+)為擬格序群,Ω表示G+的所有非空可傳定向集全體.H∈Ω,ΩH表示由

4、H生成的Ω的閉θ-不變子集全體.(公式略)D<'G>+def=closp{TGg+TG+g-1|g∈G+}是TG+的一個(gè)交換C*-子代數(shù).A.Nica和I.Raeburn等曾對(duì)TG+的誘導(dǎo)理想進(jìn)行過研究.在第四節(jié)中我們指出DG+的理想IΩH可以表示為C*-同態(tài)核Kerγ<'G><,H>,<'G><,+>與D<'G><,+>的交集形式,從而得到了TG+的誘導(dǎo)理想JΩH就是Kerγ<'G><,H>,<'G><,+>(定理4.2.1).第五節(jié)

5、主要目的是研究Toeplitz代數(shù)的純無限性質(zhì).設(shè)Ω∞表示Ω中的極大元全體(即G<,+>的極大的可傳定向集全體).Ω∞在Ω中的閉包定義為Ω的邊界,以( )Ω∞表示.該節(jié)將說明當(dāng)( )Ω∞≠Ω時(shí),如果對(duì)任意x,y∈G<,+>,x≠y,存在g∈G<,+>,滿足那么對(duì)任意H∈ ∞,Toeplitz代數(shù)TGH都是純無限的(定理5.1).另外,當(dāng)( )Ω∞≠Ω時(shí),T<'G+>不是簡(jiǎn)單的.由此,盡管J( )Ω∞是T<'G+>的最大的誘導(dǎo)理想,但該節(jié)