若干量子系統(tǒng)熱化問題和一維系統(tǒng)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變的研究.pdf

1、孤立量子多體系統(tǒng)非平衡動力學(xué)的研究是物理學(xué)領(lǐng)域中一個古老而又艱巨的重要課題。近十幾年來，光操控冷原子的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算物理的發(fā)展為研究孤立量子多體系統(tǒng)的非平衡動力學(xué)提供了實(shí)驗(yàn)平臺和可行的理論方法，使得孤立量子多體系統(tǒng)非平衡動力學(xué)的研究重新受到人們的廣泛關(guān)注。在孤立量子多體系統(tǒng)非平衡動力學(xué)的研究中，一個關(guān)鍵的問題就是孤立量子系統(tǒng)的熱化問題。孤立量子系統(tǒng)的熱化是指孤立量子系統(tǒng)從非平衡態(tài)出發(fā)，長時間演化之后可觀測量可以達(dá)到一個穩(wěn)定值，并且可以用傳統(tǒng)

2、的統(tǒng)計(jì)系綜來描述。研究孤立量子系統(tǒng)的熱化問題不僅有助于量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論體系的完善，而且對數(shù)學(xué)物理，量子混沌，量子傳輸，多體局域化，可積和不可積動力學(xué)等領(lǐng)域也具有重要的理論意義，同時可以為量子信息科學(xué)，如量子計(jì)算機(jī)和量子通信等領(lǐng)域，提供必要的理論依據(jù)。
　　另一方面，宇稱-時間反演（PT）對稱的非厄米系統(tǒng)的自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變是當(dāng)前凝聚態(tài)物理、光學(xué)領(lǐng)域的一個熱門研究課題。上世紀(jì)90年代，Bender和Boettcher發(fā)現(xiàn)PT對稱的

3、非厄米哈密頓系統(tǒng)依然可能具有全是實(shí)數(shù)的本征能譜。這個發(fā)現(xiàn)使得PT對稱的非厄米哈密頓系統(tǒng)受到了人們的廣泛關(guān)注。PT對稱的非厄米哈密頓系統(tǒng)的一個重要特點(diǎn)就是存在一個從PT對稱相到自發(fā)PT對稱破缺相的轉(zhuǎn)變，稱為自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變。系統(tǒng)在PT對稱相時，所有本征能量都為實(shí)數(shù)，哈密頓量的所有本征函數(shù)都是PT算符的本征函數(shù)，即具有PT對稱性;而在自發(fā)PT對稱破缺相時，系統(tǒng)本征能譜包含部分復(fù)數(shù)能級或者全為復(fù)數(shù)能級，復(fù)數(shù)能級對應(yīng)的本征函數(shù)將不具有PT對

4、稱性。目前，PT對稱的非厄米量子系統(tǒng)在光學(xué)系統(tǒng)，開放量子系統(tǒng)，Anderson模型，緊束縛鏈模型，自旋鏈模型和拓?fù)淠Ｐ椭卸加写罅康难芯?，此外，人們已?jīng)可以在實(shí)驗(yàn)上操控和研究PT對稱的非厄米哈密頓系統(tǒng)，并且已經(jīng)在耦合光波導(dǎo)系統(tǒng)中觀測到了自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。研究PT對稱的非厄米量子系統(tǒng)對量子力學(xué)理論的拓展和補(bǔ)充具有重要的意義;同時非厄米量子理論的發(fā)展和實(shí)驗(yàn)仿真的實(shí)現(xiàn)使得在未來構(gòu)建新型光學(xué)器件和量子器件成為了可能。
　　本文主要研

5、究了若干孤立非均勻量子可積多體系統(tǒng)的非平衡動力學(xué)和熱化問題，同時還研究了一維PT對稱的非厄米系統(tǒng)的自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變問題，具體情況如下。
　　1、孤立量子多體系統(tǒng)的非平衡動力學(xué)和熱化問題的研究
　　目前，人們已經(jīng)對孤立均勻的量子多體系統(tǒng)的非平衡動力學(xué)和熱化問題做了大量的研究，發(fā)現(xiàn)不可積系統(tǒng)和可積系統(tǒng)長時間演化后可觀測量的行為是不同的:對于不可積系統(tǒng)，弛豫后可觀測量可以用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)系綜來描述，即可以熱化;而可積系統(tǒng)弛豫后可觀

6、測量不能用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)系綜來描述，但可以用廣義吉布斯系綜(GGE)來描述，人們將這種現(xiàn)象稱為廣義熱化。另外，孤立非均勻量子多體系統(tǒng)的非平衡動力學(xué)和熱化問題也受到了人們的廣泛關(guān)注，大量研究表明，對于非均勻不可積系統(tǒng)，系統(tǒng)的非均勻性可能會導(dǎo)致多體局域化，當(dāng)出現(xiàn)多體局域化時，系統(tǒng)將不能發(fā)生熱化;另一方面，對于非均勻可積系統(tǒng)，人們也做了一些研究，但仍然存在一些問題，如最近關(guān)于硬核玻色子在Aubry-André模型中的非平衡動力學(xué)的研究表明:GGE

7、的有效性與單粒子本征態(tài)的性質(zhì)有關(guān);當(dāng)系統(tǒng)處于單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài)的區(qū)域時，GGE可以用來描述可觀測量弛豫后的值;當(dāng)系統(tǒng)處于單粒子本征態(tài)為局域態(tài)的區(qū)域時，GGE對非局域的可觀測量將不再適用。那么，當(dāng)系統(tǒng)單粒子本征態(tài)為處于擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)之間的臨界態(tài)時，GGE的有效性將如何呢？當(dāng)單粒子本征態(tài)中同時存在擴(kuò)展態(tài)和局域態(tài)時，GGE還能用來描述可觀測量弛豫后的值嗎？基于這些問題，我們將對若干孤立非均勻量子可積多體系統(tǒng)的非平衡動力學(xué)進(jìn)行研究，本文主要討

8、論了二元準(zhǔn)周期勢場、具有單粒子遷移率邊的準(zhǔn)周期勢場和恒力場中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動力學(xué)和熱化問題。
　　首先，我們討論了一維Fibonacci晶格和廣義Fibonacci晶格中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動力學(xué)。Fibonacci晶格是準(zhǔn)周期系統(tǒng)研究中的一個典型模型，它的單粒子本征態(tài)是介于局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài)之間的臨界態(tài)。廣義Fibonacci晶格是另一類被廣泛研究的準(zhǔn)周期系統(tǒng)，根據(jù)晶格是否具有PV性質(zhì)，廣義Fibonacci晶格可以分

9、為兩類，第一類具有PV性質(zhì)，它的單粒子本征態(tài)性質(zhì)與Fibonacci晶格的類似;而第二類不具有PV性質(zhì)，單粒子本征態(tài)中不僅有臨界態(tài)，還有局域態(tài)和擴(kuò)展態(tài)。在初始時刻，系統(tǒng)處在均勻晶格的基態(tài)上，然后我們通過淬火給晶格加上二元準(zhǔn)周期勢場，研究系統(tǒng)淬火之后的動力學(xué)演化情況。研究發(fā)現(xiàn)，在Fibonacci晶格中，可觀測量能夠弛豫到一個穩(wěn)定值，弛豫后，局域的可觀測量，如格點(diǎn)密度，可以用GGE來描述，而非局域的可觀測量，如動量分布函數(shù)和自然軌道占據(jù)數(shù)

10、，則不能用GGE來描述，另外，由于系統(tǒng)是可積的，所有的可觀測量都不能用巨正則系綜來描述，這些結(jié)果與硬核玻色子在Aubry-André模型的局域區(qū)域（單粒子本征態(tài)為局域態(tài)的區(qū)域）時的情形類似。在廣義Fibonacci晶格中，硬核玻色子的淬火動力學(xué)行為和弛豫后可觀測量的統(tǒng)計(jì)系綜描述情況與在Fibonacci晶格中的類似。
　　然后，我們討論了三種具有單粒子遷移率邊的準(zhǔn)周期勢場中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動力學(xué)。對于第一種勢場，存在一個E

11、c，當(dāng)單粒子本征能量|E|＜Ec時，對應(yīng)的單粒子本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài)，其他的單粒子本征態(tài)為局域態(tài);對于第二種勢場，當(dāng)勢場強(qiáng)度較弱時，存在一個Ec，當(dāng)單粒子本征能量E＜Ec時，單粒子本征態(tài)為局域態(tài)，當(dāng)E＞Ec時，對應(yīng)的單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài);對于第三種勢場，當(dāng)勢場強(qiáng)度較弱時，存在一個Ec，當(dāng)單粒子本征能量|E|＞Ec時，對應(yīng)的單粒子本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài)，其他的單粒子本征態(tài)為局域態(tài)，與第一種勢場的情形相反。研究發(fā)現(xiàn)，在第一種勢場中，硬核玻色子的淬火動力學(xué)

12、行為和弛豫后可觀測量的統(tǒng)計(jì)系綜描述情況與硬核玻色子在Aubry-André模型的擴(kuò)展區(qū)域（單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài)的區(qū)域）時的情形類似，可觀測量能夠弛豫到一個穩(wěn)定值并且可以用GGE來描述，而在第二種和第三種勢場中，硬核玻色子的淬火動力學(xué)行為和弛豫后可觀測量的統(tǒng)計(jì)系綜描述情況與硬核玻色子在Aubry-André模型的局域區(qū)域時的情形類似，局域的可觀測量可以用GGE來描述，而非局域的可觀測量不能用GGE來描述。
　　其次，我們討論了受到恒

13、定驅(qū)動力場的晶格中半占據(jù)的硬核玻色子的淬火動力學(xué)。在初始時刻，我們給均勻晶格突然加上恒定的驅(qū)動力場;在均勻晶格中，系統(tǒng)的單粒子本征態(tài)是擴(kuò)展態(tài)，加上恒定驅(qū)動力場后，系統(tǒng)的單粒子本征態(tài)變成局域態(tài)。我們數(shù)值計(jì)算了硬核玻色子的格點(diǎn)密度，動量分布函數(shù)和自然軌道占據(jù)數(shù)隨時間演化的情況，發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)密度的長時間平均值與GGE預(yù)測的值一致，而動量分布函數(shù)和自然軌道占據(jù)數(shù)的長時間平均值與GGE平均值不一致，并且動量分布函數(shù)長時間演化之后不能達(dá)到一個穩(wěn)定分布，

14、這與硬核玻色子在其他晶格中的情形不同。
　　2、PT對稱的非厄米系統(tǒng)的自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變的研究
　　最近，人們在研究一個PT對稱的非厄米拓?fù)淠Ｐ?SSH模型)的自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變中發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在非拓?fù)湎鄷r存在自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變，而在拓?fù)湎?，系統(tǒng)不存在這樣的轉(zhuǎn)變，只有一個自發(fā)PT對稱破缺相，因此，一個很自然的問題就是:在PT對稱的非厄米拓?fù)淠Ｐ椭?，自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變跟拓?fù)湫再|(zhì)是否有普遍的聯(lián)系？為了解答這個問題，我們研究了

15、另外兩個PT對稱的非厄米拓?fù)淠Ｐ驮诓煌鄡?nèi)的自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變情況。其中一個模型是PT對稱的非厄米Kitaev模型，研究發(fā)現(xiàn)，在非拓?fù)湎嘀?，系統(tǒng)存在自發(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變，這與PT對稱的非厄米SSH模型的情況類似，然而，與非厄米SSH模型不同的是，非厄米Kitaev模型在拓?fù)湎嘁泊嬖谧园l(fā)PT對稱破缺轉(zhuǎn)變。另一個我們討論的模型是PT對稱的非厄米拓展Kitaev模型;拓展Kitaev模型由Kitaev模型和SSH模型組成，它有兩個拓?fù)湎嗪鸵?/p>