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1、對(duì)于任意有限群G的整群環(huán)ZG,記ZG的n-次增廣理想△”(G)為由(g<,1>-1)…(g<,1>-1),g<,1>...,g<,n>∈G\{1},所生成的自由Abel群。在整群環(huán)理論中△<'n>(G)及由△<'n>(G)所確定的增廣商群Q<,n>(G)=△<'n>(c)/A<'n+1>(G)的結(jié)構(gòu)問(wèn)題是一個(gè)非常重要的研究課題,但是這方面已有的研究成果多是針對(duì)G為有限Abel群所做出的,而對(duì)于非Abel群情形相關(guān)的結(jié)論還不多見(jiàn),故本文著
2、重對(duì)幾類非Abel群情形進(jìn)行了討論。本文首先在第一章中簡(jiǎn)要介紹了整群環(huán)之增廣理想及其增廣商群的研究意義及現(xiàn)狀,給出了論文將要用到的基本知識(shí)和本文研究的主要內(nèi)容。 由于本文著重研究非Abel群情形,而二面體群又在非Abel群類中占有重要的地位,因此對(duì)二面體群之增廣理想及其增廣商群結(jié)構(gòu)的討論貫穿本文始末。在第二章中我們首先對(duì)二面體群按照其階被2的最大方冪整除進(jìn)行了分類,將其表示為D<,2'k>(t≥0,k奇)。接下來(lái)分別給出了當(dāng)t=
3、0和t=1時(shí),△<'n>(D<,2'k>)及Q<,n>(D<,2'k>)作為自由AbeI群的基底,并且還給出了當(dāng)t≥1時(shí)△<'n>(D<,2'k>)和△<'n+1>(D<,2'k>)之間的一個(gè)遞推關(guān)系,在此基礎(chǔ)上我們最后還證明了增廣商群Q<'n>(D<,2'k>)作為基本2-群的秩不超過(guò)2t+1。 Parmenter在[46]中歸納地給出了當(dāng)G為基本P-群時(shí)△<' n>(G)的一組基底,我們?cè)诘谌轮袑⑦@一結(jié)論推廣到了G是若干個(gè)
4、基本P-群(p<,i>互不相同)的直和時(shí)的情形,得到了此時(shí)A”(G)的一組基底,并且在本章中我們還確定了pg階(P,g素)Abel或非Abel群之增廣理想及其增廣商群的結(jié)構(gòu)。 在第四章的§4.2中我們首先討論了一類具有完全正規(guī)子群H的有限群G之增廣理想及其增廣商群的結(jié)構(gòu)問(wèn)題,分別給出了當(dāng)商群G/H為循環(huán)群和基本p-群時(shí)△<'n>(G)的一組基底。接下來(lái)對(duì)商群G/H為任意群的情形我們還證明了Q<,n>(G)≡Q<,n>(G/
5、H),這一結(jié)果的重要性在于今后可將對(duì)任意非Abel群之增廣商群結(jié)構(gòu)問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為可解群的相關(guān)問(wèn)題來(lái)討論,作為該結(jié)論的應(yīng)用我們還完全解決了另外一類重要的非Abel群一對(duì)稱群S<,m>之增廣理想△<'n>(S<,m>)及其增廣商群Q<,n>(s<,m>)的結(jié)構(gòu)問(wèn)題,證明了Q<,n>(s<,m>)≡Z<,2>。在§4.3中對(duì)于任意的有限非Abel群G,我們找到了Q<,n>(G)的一組與G的Sylow P<,1>-子群S<,p>相關(guān)的生成元將
6、Q<,n>(G)分解為Q<,n>(G)=Q<,n>(S<,p>),這罩Q<,n>(S<,p>)=△<'n>(S<,p>)/(△<'n>(S<,p>)∩△<'n+1>(G))并且s=|{P<,i>|P<,i>為|G|的素因子}|。由于有限冪零群是它的Sylow p-子群的直和,這時(shí)其增廣商群等于各Sylow p-子群之增廣商群的直和,因此上述結(jié)果可作為我們將有限可解群的情形進(jìn)一步向冪零群情形歸結(jié)的努力。最后我們還得到了Q<,n>(S<,p
7、i>)=0的一個(gè)充要條件,并且應(yīng)用這一條件進(jìn)一步對(duì)二面體群D<'2'k>證明了Q<,n>(D<,2'k>≡Q<,n>(D<,2>),這一結(jié)論表明我們不但對(duì)Q<,n>(D<,2'k>)的結(jié)構(gòu)按照二面體群(D<,2;k>)的階進(jìn)行了等價(jià)分類,并且還可以將一般二面體群之增廣商群的結(jié)構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為階為2的某一個(gè)方冪的二面體群的問(wèn)題來(lái)解決。對(duì)于一類具有N<,p>-序列的有限p-群G,G.Losey和N.Losey在[65]中從理論上給出了一種計(jì)算Q
8、<,n>(G)做為基本p-群的秩的方法。 我們?cè)诘谖逭轮袘?yīng)用這一方法進(jìn)一步對(duì)二面體群確定了當(dāng),=2時(shí)Q<,n>(D<,2'k>)的結(jié)構(gòu),并且還重新證明了Passi在[67]中給出的一個(gè)關(guān)于有限Abel基本p-群之增廣商群的著名結(jié)論,本文的證明大大簡(jiǎn)化了Passi對(duì)這一結(jié)果的證明。接著我們對(duì)文獻(xiàn)[65]中一個(gè)作者未給出證明的定理進(jìn)行了詳細(xì)的證明,在本章的最后還計(jì)算了一類下中心列為N<,p>一序列的非Abel有限P-群之增廣商群的秩
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