p-群群環(huán)的增廣理想及增廣商群的結構.pdf

1、令G是有限群,整群環(huán)ZG的n(n是正整數(shù))次增廣理想△n(G)=(△(G))n是秩為|G|-1的自由阿貝爾群,n次增廣商群定義為Qn(G)=△n(G)/△n+1(G).對一般的群G和任意的正整數(shù)n,ZG的n次增廣商群的結構并沒有一個一般的結果。但如果G是有c個冪零類的有限冪零群,則存在最小的正整數(shù)n0和π(π整除l.c.m.{1,2,···, c}),使得對所有的n≥n0有Qn(G)≌Qn+π(G),且序列Qn0(G), Qn0+1(G

2、),···, Qn0+π-1(G)被稱為Qn(G)的穩(wěn)定結構。本文主要研究了p5(p是奇素數(shù))階群的整群環(huán)之增廣商群的穩(wěn)定結構,以及p-群群環(huán)的clean性。主要工作如下:
　　階為p5(p是奇素數(shù))的群共有64種互不同構的同構類,每種同構類的生成元個數(shù)小于等于5.本文按其生成元的個數(shù)是偶數(shù)或奇數(shù),把這些同構類群分成兩組。首先確定有偶數(shù)個生成元的p5階群G的增廣商群的穩(wěn)定結構。對于有4個生成元的群,通過尋找n次增廣理想△n(G)的

3、一組Z-基及最小正整數(shù)n0,應用傳統(tǒng)方法經(jīng)過仔細運算確定出當n≥n0時其增廣商群Qn(G)的結構,即Qn(G)的穩(wěn)定結構。對于某些有2個生成元的群,由于不能找到△n(G)的一組Z基,則借助于Qn(G)的長度以及Qn(G)的直和分解完成對其增廣商群Qn(G)的穩(wěn)定結構的刻畫。
　　其次確定有奇數(shù)個生成元的p5階群G的增廣商群的穩(wěn)定結構。對循環(huán)群和初等阿貝爾p-群,前人已經(jīng)給出了其增廣商群的穩(wěn)定結構。對于有3個生成元的群,某些群運用對

4、有4個生成元的群的討論方法來確定Qn(G)的穩(wěn)定結構,但在證明△n(G)的Z-基時略有不同;另外一些群可運用對有2個生成元的群的討論方法完成對其增廣商群Qn(G)的穩(wěn)定結構的刻畫。對于有5個生成元的群,或者找到△n(G)的Z-基或者利用Np-序列確定其增廣商群Qn(G)的穩(wěn)定結構。
　　最后考慮p-群群環(huán)的clean性。通過研究滿足條件△(G)包含于J(RG)的p-群群環(huán),給出交換環(huán)上阿貝爾p-群群環(huán)是clean的充分必要條件,同