無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性及其在彈性力學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、鐘萬(wàn)勰院士將彈性力學(xué)與無(wú)窮維Hamilton算子相結(jié)合，提出了基于無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的分離變量法，建立了彈性力學(xué)求解新體系，解決了許多實(shí)際問(wèn)題.此方法的理論基礎(chǔ)是無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性問(wèn)題，即辛本征函數(shù)系(辛正交系)的完備性問(wèn)題.本文以無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性問(wèn)題為主題，圍繞著無(wú)窮維Hamilton算子理論開展了如下幾個(gè)方面的研究：l、無(wú)窮維Hamilton算子特(本)征函數(shù)系在Cauc

2、hy主值意義下的完備性問(wèn)題；2、無(wú)窮維Hamilton算子的可逆性問(wèn)題；3、無(wú)窮維Hamilton算子的半群生成問(wèn)題；4、作為對(duì)無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)展開法的補(bǔ)充，本文還研究了基于上三角算子矩陣的特征函數(shù)展開法。
　　 首先，本文研究了彈性力學(xué)中對(duì)邊簡(jiǎn)支邊界條件的矩形板方程的無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系，證明了該無(wú)窮維Hamilton算子廣義特征函數(shù)系在Cauchy主值意義下是完備的，但在一般意義下不完備，即

3、證明了辛正交系的完備性.進(jìn)而給出了原方程的通解可按解函數(shù)系展開的定理，為此類方程應(yīng)用基于無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的分離變量法求解提供了理論依據(jù).其次，研究了彈性力學(xué)中一邊簡(jiǎn)支對(duì)邊滑支邊界條件的條形板方程的無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系，證明了該無(wú)窮維Hamilton算子廣義特征函數(shù)系在Cauchy主值意義下的完備性.進(jìn)而，推導(dǎo)出了原方程的通解，并對(duì)該平面彈性問(wèn)題指出了什么樣的邊界條件可按此方法求解.最后，研究了彈性力學(xué)中Kirc

4、hhoff矩形板的自由震動(dòng)問(wèn)題.根據(jù)已知結(jié)論，將Kirchhoff矩形板的振動(dòng)方程等價(jià)地轉(zhuǎn)化為無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)，從而得到了相應(yīng)的無(wú)窮維Hamilton算子.證明了對(duì)邊簡(jiǎn)支邊界條件的Kirchhoff矩形板振動(dòng)方程的無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系在Cauchy主值卷義下的完備性.進(jìn)一步，通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)出了對(duì)應(yīng)無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的通解.通過(guò)Levy-型極為例說(shuō)明，所得通解結(jié)合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件可以推導(dǎo)出相應(yīng)的頻率方程和橫向

5、位移函數(shù)，并且指出了哪些邊界條件可以應(yīng)用此方法求解。
　　 在研究完備性過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，許多無(wú)窮維Hamilton算子的特征函數(shù)系是否完備與相應(yīng)無(wú)窮維Hamilton算子是否可逆具有相關(guān)性.為了探索它們之間的內(nèi)在聯(lián)系及考慮到無(wú)窮維Hamilton算子可逆性本身的重要性，我們研究了一類無(wú)窮維Hamilton算子的可逆性.具體根據(jù)無(wú)窮維Hamilton算子的結(jié)構(gòu)特性，證明了一類無(wú)窮維Hamilton算子的點(diǎn)譜分布，進(jìn)而給出了這類無(wú)窮

6、維Hamilton算子可逆的充要條件。
　　 無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)展開法，解決了許多實(shí)際問(wèn)題.但是在研究完備性過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，有一些無(wú)窮維Hamilton算子的特征函數(shù)系是不完備的.對(duì)于這一類不能應(yīng)用辛特征函數(shù)展開法解決的問(wèn)題我們有必要尋求其它解法.基于上述原因，本文又采用了兩種方法：第一種是在無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的框架內(nèi)考慮了算子半群方法；第二種是在無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的框架外考慮了上三角算子矩陣的

7、特征函數(shù)展開法.關(guān)于無(wú)窮維Hamilton算子的半群生成問(wèn)題，應(yīng)用Hille-Yosida定理研究了無(wú)窮維Hamilton算子，得到了一個(gè)無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)初值問(wèn)題解的存在性定理，并把結(jié)果應(yīng)用在由一類雙曲型偏微分方程導(dǎo)出的無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)中，給出了此類無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)解的存在性定理.對(duì)基于上三角算子矩陣的特征函數(shù)展開法，根據(jù)已有的研究結(jié)果，將應(yīng)力形式的二維彈性問(wèn)題的基本偏微分方程組等價(jià)地轉(zhuǎn)化為上三角微分系統(tǒng)，

8、導(dǎo)出相應(yīng)的上三角算子矩陣.通過(guò)深入研究，在新的定義域中獲得了主對(duì)角線上兩個(gè)塊算子各自更為簡(jiǎn)潔的正交特征函數(shù)系，并證明了它們?cè)谙鄳?yīng)空間中按Cauchy主值意義下的完備性.基于特征函數(shù)系的完備性，應(yīng)用特征函數(shù)展開法給出了該二維彈性問(wèn)題的更為簡(jiǎn)潔實(shí)用的一般解.此外，對(duì)該二維彈性問(wèn)題，還指出了什么樣的邊界條件可以應(yīng)用此方法求解。
　　 本文為應(yīng)用基于無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)求解實(shí)際問(wèn)題提供了一些理論基礎(chǔ)，為進(jìn)一步研究無(wú)窮維Hamilt