無窮維Hamilton算子的特征問題.pdf

1、鐘萬勰院士將彈性力學(xué)和無窮維Hamilton算子相結(jié)合,提出了基于Hamilton系統(tǒng)的分離變量法,建立起彈性力學(xué)求解新(辛)體系,解決了許多實(shí)際問題.此方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是無窮維Hamilton算子特征值問題的成套理論,其中特征向量組的完備性尤為重要.本文研究了無窮維Hamilton算子的特征值問題,其內(nèi)容包括特征值(即點(diǎn)譜)的對(duì)稱性,特征值的幾何重?cái)?shù)、代數(shù)重?cái)?shù)、代數(shù)指標(biāo),特征向量與根向量的辛正交關(guān)系,以及特征向量組與根向量組的完備性.<

2、br>　　 如所熟知,無窮維Hamilton算子的點(diǎn)譜和剩余譜的并集關(guān)于虛軸對(duì)稱,但點(diǎn)譜本身的對(duì)稱性尚不明確.注意到無窮維Hamilton算子的特征向量具有辛正交性,因此其特征值的對(duì)稱性在研究特征向量組的完備性方面起重要作用.鑒于此,本文首先考察了上三角無窮維Hamilton算子特征值的對(duì)稱性,分別給出其點(diǎn)譜關(guān)于虛軸和實(shí)軸對(duì)稱的充分必要條件.此外,根據(jù)無窮維Hamilton算子的譜結(jié)構(gòu),還得到了上三角無窮維Hamilton算子剩余譜的

3、刻畫.
　　 目前,無窮維Hamilton算子特征向量組的完備性研究?jī)H限于實(shí)特征值和純虛特征值情形,對(duì)于具有一般特征值的無窮維Hamilton算子,其特征向量組和根向量組的完備性均未提及,而且未見與無窮維Hamilton算子特征值的幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)有關(guān)的討論.另一方面,以往討論的完備性主要是針對(duì)具有實(shí)特征值和純虛特征值的無窮維Hamilton算子提出的Cauchy主值意義下的完備性,但這一定義對(duì)于具有一般特征值的無窮維Hami

4、lton算子一般是不適用的.鑒于此,本文提出了向量組在廣義Cauchy主值意義下完備的定義,為深入研究無窮維Hamilton算子特征向量組和根向量組的完備性奠定基礎(chǔ).
　　 在實(shí)際應(yīng)用中,一個(gè)具體問題可以轉(zhuǎn)化為許多等價(jià)的無窮維Hamilton形式,相應(yīng)地可得到各式各樣的無窮維Hamilton算子,其中上三角無窮維Hamilton算子在求解問題時(shí)具有一定優(yōu)勢(shì).例如,相應(yīng)上三角無窮維Hamilton算子的特征方程是解耦的,可以方便地

5、計(jì)算出特征值、特征向量和根向量.為此,本文研究了上三角無窮維Hamilton算子特征向量組和根向量組的完備性.主要從以下三個(gè)思路展開:對(duì)于2×2上三角無窮維Hamilton算子和應(yīng)用力學(xué)中出現(xiàn)的4階上三角無窮維Hamilton算子,采用算子理論和Fourier分析的方法研究了特征值的幾何重?cái)?shù)、代數(shù)指標(biāo)、代數(shù)重?cái)?shù),以及相應(yīng)特征向量組和根向量組在廣義Cauchy主值意義下完備的充分必要條件；提出求解應(yīng)用力學(xué)中出現(xiàn)的一類上三角矩陣微分系統(tǒng)(包

6、括上三角無窮維Hamilton系統(tǒng))的新方法-雙辛特征展開法,這涉及次對(duì)角算子矩陣特征向量組的完備性,因此文中給出其特征向量組在Cauchy主值意義下完備的充分必要條件.
　　 本文還討論了四塊無窮維Hamilton算子的特征值問題,包括次對(duì)角元至少有一個(gè)可逆和主對(duì)角元為常數(shù)的情形,得到特征值的幾何重?cái)?shù)、代數(shù)指標(biāo)、代數(shù)重?cái)?shù),以及特征向量組和根向量組的完備性,這些結(jié)果在很大程度上推廣并豐富了目前已有的結(jié)果.
　　 作為應(yīng)用