非線性發(fā)展方程的無(wú)窮維Hamilton方法.pdf

1、無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)是一類(lèi)具有特別結(jié)構(gòu)的偏微分方程(組),它在非線性科學(xué)研究中占重要地位.本文以非線性發(fā)展方程為研究對(duì)象,在廣義:Poisson括號(hào)直接做定義的觀點(diǎn)下,主要圍繞bi-Hamilton結(jié)構(gòu)、Hamilton線性正則表示等方面的內(nèi)容對(duì)Hamilton可積性與無(wú)窮維Hamilton形式化問(wèn)題做了探討.不僅借助Magri理論,證明了一個(gè)新的無(wú)窮維Hamilton可積系統(tǒng),而且從微分算子演算方法上,獲得了一個(gè)實(shí)現(xiàn)某類(lèi)Hami

2、lton正則形式的有效機(jī)械化算法,又更進(jìn)一步地提出將AC=BD理論引進(jìn)到Hamilton系統(tǒng)的研究思想. 其具體研究工作共分五章,第一章首先從考察Hamilton系統(tǒng)的變遷出發(fā),由辛流形過(guò)渡到Possion流形,簡(jiǎn)要概述了其定義式的三種轉(zhuǎn)型,認(rèn)識(shí)到Hamilton方程完全由所約定的Poisson括號(hào)決定,且逐步形成對(duì)Hamilton框架的一個(gè)分類(lèi)觀點(diǎn)；其次針對(duì)無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的辛算法、算子譜理論、Hamilton形式化

3、等問(wèn)題的研究進(jìn)展與概況做了綜述,闡明了無(wú)窮維Hamilton方法對(duì)一類(lèi)有著深刻力學(xué)背景的非線性發(fā)展方程而言是重要的研究工具；然后用Hamilton結(jié)構(gòu)與可積系統(tǒng)的關(guān)系說(shuō)明了本文的選題背景. 第二章以無(wú)窮維Hamilton算子為中心,介紹了一般(非線性)的無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)所涉及到的理論和相關(guān)概念,并利用Magri的bi-Hamilton理論,對(duì)一個(gè)發(fā)現(xiàn)不久的三階非線性發(fā)展方程的Hamilton可積性做了完整的證明.通過(guò)兩

4、個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：-是發(fā)現(xiàn)該方程的一個(gè)新Muria變換；二是證實(shí)由S.Yu.Sakovich獲得的其循環(huán)算子具有遺傳屬性,使它的Hamilton結(jié)構(gòu)得以確定.同時(shí),也給出一些與之有關(guān)的代數(shù)屬性,如譜系、守恒律等,且對(duì)一類(lèi)特殊Hamilton算子進(jìn)行了額外的討論. 第三章利用B.Fuchssteiner和A.S.Fokas定理,分析了構(gòu)建非線性發(fā)展方程允許相容multi-Hamilton形式的方法,并基于循環(huán)算子證明了上述三階方程具有t

5、ri-Hamilton結(jié)構(gòu).相應(yīng)地,獲得了該方程的第三條新型守恒律,為說(shuō)明通過(guò)構(gòu)建Hamilton結(jié)構(gòu)來(lái)揭示守恒律這個(gè)途徑提供了實(shí)例. 在第四章里,我們探討了數(shù)學(xué)機(jī)械化思想在Hamilton正則“а/аx"-型表示上的應(yīng)用.在解決反問(wèn)題的途徑之一；矩陣多元多項(xiàng)式帶余除法基礎(chǔ)上,找到了新突破口-微分算子分解途徑,獲得了一個(gè)直觀簡(jiǎn)明的代數(shù)方法,將反問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)固定算子方程組的Hamilton正則解,并作為方法的應(yīng)用,提供