非線性發(fā)展方程的無窮維Hamilton方法.pdf

1、無窮維Hamilton系統(tǒng)是一類具有特別結構的偏微分方程(組),它在非線性科學研究中占重要地位.本文以非線性發(fā)展方程為研究對象,在廣義:Poisson括號直接做定義的觀點下,主要圍繞bi-Hamilton結構、Hamilton線性正則表示等方面的內容對Hamilton可積性與無窮維Hamilton形式化問題做了探討.不僅借助Magri理論,證明了一個新的無窮維Hamilton可積系統(tǒng),而且從微分算子演算方法上,獲得了一個實現(xiàn)某類Hami

2、lton正則形式的有效機械化算法,又更進一步地提出將AC=BD理論引進到Hamilton系統(tǒng)的研究思想. 其具體研究工作共分五章,第一章首先從考察Hamilton系統(tǒng)的變遷出發(fā),由辛流形過渡到Possion流形,簡要概述了其定義式的三種轉型,認識到Hamilton方程完全由所約定的Poisson括號決定,且逐步形成對Hamilton框架的一個分類觀點；其次針對無窮維Hamilton系統(tǒng)的辛算法、算子譜理論、Hamilton形式化

3、等問題的研究進展與概況做了綜述,闡明了無窮維Hamilton方法對一類有著深刻力學背景的非線性發(fā)展方程而言是重要的研究工具；然后用Hamilton結構與可積系統(tǒng)的關系說明了本文的選題背景. 第二章以無窮維Hamilton算子為中心,介紹了一般(非線性)的無窮維Hamilton系統(tǒng)所涉及到的理論和相關概念,并利用Magri的bi-Hamilton理論,對一個發(fā)現(xiàn)不久的三階非線性發(fā)展方程的Hamilton可積性做了完整的證明.通過兩

4、個關鍵環(huán)節(jié)：-是發(fā)現(xiàn)該方程的一個新Muria變換；二是證實由S.Yu.Sakovich獲得的其循環(huán)算子具有遺傳屬性,使它的Hamilton結構得以確定.同時,也給出一些與之有關的代數屬性,如譜系、守恒律等,且對一類特殊Hamilton算子進行了額外的討論. 第三章利用B.Fuchssteiner和A.S.Fokas定理,分析了構建非線性發(fā)展方程允許相容multi-Hamilton形式的方法,并基于循環(huán)算子證明了上述三階方程具有t

5、ri-Hamilton結構.相應地,獲得了該方程的第三條新型守恒律,為說明通過構建Hamilton結構來揭示守恒律這個途徑提供了實例. 在第四章里,我們探討了數學機械化思想在Hamilton正則“а/аx"-型表示上的應用.在解決反問題的途徑之一；矩陣多元多項式帶余除法基礎上,找到了新突破口-微分算子分解途徑,獲得了一個直觀簡明的代數方法,將反問題的實現(xiàn)轉化為求解一個固定算子方程組的Hamilton正則解,并作為方法的應用,提供