無窮度量圖上Sturm-Liouville算子的譜性質(zhì).pdf

1、度量圖上的微分算子是研究介觀物理與化學(xué)結(jié)構(gòu)問題的抽象數(shù)學(xué)模型,在化學(xué)、粒子物理及納米技術(shù)等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛.經(jīng)過近幾十年的發(fā)展,度量圖上微分算子理論已經(jīng)成為微分方程理論以及微分算子譜理論的重要組成部分.
　　本文主要研究無窮度量圖上Sturm-Liouville算子的自伴性以及無窮正則度量樹上Sturm-Liouville算子的譜性質(zhì),全文分為六個(gè)部分,內(nèi)容如下:
　　第一章為緒論,介紹了度量圖上的微分算子的研究背景、研究

2、現(xiàn)狀以及本文的主要工作.
　　第二章介紹了本文所涉及的基本概念以及相關(guān)定理.
　　第三章主要研究了三類局部頂點(diǎn)條件:系數(shù)矩陣秩為δ(v)的頂點(diǎn)條件、自伴頂點(diǎn)條件和J-自伴頂點(diǎn)條件.給出了這三類頂點(diǎn)條件的性質(zhì)并且討論了它們分別確定的定義域所構(gòu)成空間的幾何結(jié)構(gòu).當(dāng)微分形式對(duì)稱時(shí),給出了緊致度量圖上Sturm-Liouville算子的自伴條件和非緊致度量圖上Sturm-Liouville算子的Glazman-Povzner-Wie

3、nholtz型自伴條件.當(dāng)微分形式J-對(duì)稱時(shí),詳細(xì)描述了度量圖上局部Sturm-Liouville算子的J-伴隨算子及J-自伴擴(kuò)張.
　　第四章主要研究了無窮正則度量樹上帶有δ-型條件的Schro¨dinger算子的自伴性及其譜性質(zhì).首先,給出了該算子的本質(zhì)自伴判定條件,且證明了該算子酉等價(jià)于一列帶有轉(zhuǎn)移條件的輔助算子的直和.其次,構(gòu)造了帶有轉(zhuǎn)移條件的輔助算子所對(duì)應(yīng)的二次型,給出了輔助算子的Molchanov譜離散判定準(zhǔn)則.基于樹

4、上Schro¨dinger算子與其輔助算子譜之間的關(guān)系,得到了樹上帶有δ-型條件的Schro¨dinger算子譜純離散的充分必要條件.最后,根據(jù)二次型擾動(dòng)的緊性,得到了樹上帶有δ-型條件的Schro¨dinger算子本質(zhì)譜穩(wěn)定的判定條件和負(fù)譜下半有界且離散的判定條件.
　　第五章主要考慮了無窮正則度量樹上帶有δ謰-型條件的Schro¨dinger算子.因?yàn)樵撍阕拥亩x域包含于直和空間謈謱i=1W1,2(ei),并不包含于樹上Sob

5、olev空間W1,2(Γ),所以構(gòu)造了一列帶有轉(zhuǎn)移條件的輔助算子及其所對(duì)應(yīng)的二次型,并證明了一系列嵌入不等式,進(jìn)而通過嵌入算子的緊性研究了樹上Schro¨dinger算子譜的純離散性.所得結(jié)果將Molchanov離散譜判定準(zhǔn)則推廣至具有轉(zhuǎn)移條件的Schro¨dinger算子.基于樹上帶有δ謰-型條件的Schro¨dinger算子與輔助算子譜之間的關(guān)系得到了樹上帶有δ謰-型條件的Schro¨dinger算子譜純離散的充分必要條件和本質(zhì)譜穩(wěn)

6、定的判定條件.
　　第六章討論了邊長下確界為0的無窮度量樹上Sturm-Liouville算子的自伴性及其譜性質(zhì).本章證明了樹上Sturm-Liouville算子酉等價(jià)于一列帶有轉(zhuǎn)移條件的輔助算子的直和,借助于這一列輔助算子,證明了樹上算子的自伴性.然后利用無窮區(qū)間覆蓋定理,證明了加權(quán)函數(shù)空間上的不等式,得到了帶有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子譜離散的充分必要條件,進(jìn)而得到了無窮度量樹上Sturm-Liouville