不定離散Sturm-Liouville邊值問題的非實(shí)特征值.pdf

1、Sturm-Liouville邊值問題起源于19世紀(jì)中葉，是為了描述固體的熱傳導(dǎo)而建立起得連續(xù)的數(shù)學(xué)模型。Sturm-Liouville邊值問題有深遠(yuǎn)的物理背景，它很大一部分來源于熱傳導(dǎo)問題、弦振動(dòng)問題、Possion邊值問題以及其他偏微分邊值問題。Sturm-Liouville邊值問題的譜理論有重要的物理意義及現(xiàn)實(shí)意義，比如它能很好的體現(xiàn)振動(dòng)的頻譜以及Schr(o)dinger方程的能譜?，F(xiàn)實(shí)生活中，我們在模擬某些物理現(xiàn)象時(shí)所建立的物

2、理模型可能是離散的，并且，有些連續(xù)問題通過離散化更容易解決，這就促使了離散問題的研究。離散Sturm-Liouville邊值問題的研究對(duì)于用離散和連續(xù)數(shù)學(xué)模型來描述的問題都有著十分重要的作用。
　　Sturm-Liouville邊值問題是形式自伴的當(dāng)且僅當(dāng)勢函數(shù)是實(shí)值函數(shù)。當(dāng)系數(shù)都為實(shí)值時(shí)，Sturm-Liouville邊值問題已經(jīng)在文獻(xiàn)[1-5]及相關(guān)文獻(xiàn)中有了深入的研究。類似于正則自伴邊值問題，當(dāng)Sturm-Liouville

3、方程不是形式自伴時(shí)，利用希爾伯特空間中緊算子的譜理論可知Sturm-Liouville邊值問題亦只有可數(shù)個(gè)特征值，且沒有有限的聚點(diǎn)。當(dāng)勢函數(shù)的虛部不為零時(shí)，Sturm-Liouville邊值問題可能有無限多個(gè)非實(shí)特征值（見[6,定理1.1]）。Sturm-Liouville邊值問題的特征值的漸進(jìn)性也有研究（如[7-9]）。文獻(xiàn)[10]中給出了滿足周期、反周期、Dirichlet和Neumann邊值條件的Sturm-Liouville方程

4、的所以特征值是單的充分條件。文獻(xiàn)[11-14]及相關(guān)文獻(xiàn)中也介紹了非自伴微分表達(dá)式的一些結(jié)果。當(dāng)Sturm-Liouville方程形式自伴時(shí)，文獻(xiàn)[4]中用比較定理給出了Sturm-Liouville邊值問題的特征值關(guān)于方程的系數(shù)、比較方程的系數(shù)與比較方程的特征值的界。文獻(xiàn)[3]中，作者用Rayleigh-Ritz方法給出了Sturm-Liouville邊值問題當(dāng)勢函數(shù)大于零，權(quán)函數(shù)恒為1時(shí)的特征值的界。
　　對(duì)于離散Sturm-

5、Liouville邊值問題，1964年F.V.Atkinson在文獻(xiàn)[15]中開始了自伴差分系統(tǒng)譜問題的研究。文獻(xiàn)[16]研究了自伴二階差分系統(tǒng)的振動(dòng)性與非振動(dòng)性。文獻(xiàn)[17]和[18]也研究了二階線性差分方程的振動(dòng)性。文獻(xiàn)[19]研究了差分方程的Green函數(shù)、共軛性。文獻(xiàn)[20]研究了離散形式下的Prüfer變換。文獻(xiàn)[21-22]研究了離散Sturm-Liouville邊值問題的譜。文獻(xiàn)[23]中研究了二階正則向量差分邊值問題，得

6、到了特征值的個(gè)數(shù)（有限個(gè)）、特征函數(shù)的正交性、特征值的最大-最小值原理等。隨著研究的繼續(xù)，自伴線性差分系統(tǒng)譜理論的研究相對(duì)趨于完善（見文獻(xiàn)[24]）。
　　我們注意到如下問題。第一，以上關(guān)于離散Sturm-Liouville邊值問題的研究都是在自伴情況下的，此時(shí)離散Sturm-Liouville邊值問題沒有非實(shí)特征值。但當(dāng)權(quán)函數(shù)變號(hào)時(shí)，非實(shí)特征值有可能存在。連續(xù)Sturm-Liouville邊值問題中常采用“特征曲線”法來研究非實(shí)

7、特征值的存在問題（如文獻(xiàn)[25]），但目前沒有離散Sturm-Liouville邊值問題存在非實(shí)特征值的充分條件。第二，連續(xù)Sturm-Liouville邊值問題中有許多關(guān)于特征值的界的估計(jì)的結(jié)果（如文獻(xiàn)[3]，[4]，[26]，[27]），而對(duì)于離散情況，目前并沒有特征值界的相應(yīng)結(jié)果。第三，連續(xù)Sturm-Liouville邊值問題特征值的界的估計(jì)的現(xiàn)有結(jié)果都是在實(shí)系數(shù)情況下的(如文獻(xiàn)[26]，[27])，但當(dāng)系數(shù)為復(fù)數(shù)時(shí)，目前沒有特

8、征值界的估計(jì)的結(jié)果。
　　本文研究的是不定離散Sturm-Liouville邊值問題和復(fù)系數(shù)連續(xù)Sturm-Liouville邊值問題的非實(shí)特征值。本文給出了離散Sturm-Liouville邊值問題相應(yīng)右定問題的譜的一些性質(zhì);給出了雙參數(shù)離散Sturm-Liouville邊值問題“特征曲線”的光滑性、與直線的交點(diǎn)和特征曲線的臨界點(diǎn)等性質(zhì);利用“特征曲線”的性質(zhì)給出了不定離散Sturm-Liouville邊值問題非實(shí)特征值存在的一

9、個(gè)充分條件;給出了當(dāng)不定離散Sturm-Liouville邊值問題存在非實(shí)特征值時(shí)，非實(shí)特征值的實(shí)部和虛部關(guān)于方程系數(shù)的界;給出了復(fù)系數(shù)連續(xù)Sturm-Liouville邊值問題的所有特征值的實(shí)部關(guān)于方程的系數(shù)的下界以及每個(gè)特征值的虛部關(guān)于方程的系數(shù)和該特征值的實(shí)部的界。
　　本文結(jié)構(gòu)如下。第一章是預(yù)備知識(shí)，主要給出了二階向量差分方程的譜理論;第二章給出了不定離散Sturm-Liouville邊值問題的相應(yīng)右定問題的一些性質(zhì)及特征